Главная Обратная связь

Дисциплины:






Метод замены переменной в неопре-деленном интеграле. Интегрирование по частям



Метод замены переменой в неопò: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=j(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда òf(x)dx=òf(j(t))j’(t)dt+C=òf(j(t))d(j(t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на некотором промежутке Х и существует òU(x)V’(x)dx тогда существует интеграл òV(x)×U’(x)dx=U(x)×V(x)-òU(x)×V’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т.к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (U×V)’=U’V+UV’ÞU’V=(UV)’-UV’; Т.к. существует итегралл òUV’dx по условию Если $ ò(UV)’dx=UV+C то $òU’Vdx=ò(UV)’dx-òUV’dx=UV-òUV’dx+C Þ производную постоянную к òU’Vdx=UV-òUV’dx; Пример òexsinxdx=exsinx-òexcosxdx=|U’(x)=ex V’(x)=sinx|=exsinx-(excosx-òexsinxdx); òexsinxdx=exsinx-excox-òexsinxdx; 2òexsinxdx=exsinx-excosxÞ òexsinxdx=(exsinx-excosx)/2

 

Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей. По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1×…×(z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)ÞPn(z)=(z-a)m×Qn-m(z)Þ a-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)ºPn(x) xÎR По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленомÞ Pn(x)=(x-a1)a1×…×(x-ar)ar×(x-z1)b1×…×(x-zs)bs×(x-zs)bs=(x-a1)a1×…×(x-ar)ar×(x²+p1x+q1)b1×…×(x²+psx+qs)bs; Pj²/4-qj<0, j=1,…,s; a1,…,arÎR, Pj,qjÎR {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причём степень degP(x)<degQ(x) Сущ а –корень кратности м многочлена Q(x), Q(x)=(x-a)m×Q1(x), Q1(a)¹0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,AÎR такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)m+P1(x)/(x-a)m-1×Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)<degQ(x) z1=a+ib, b¹0-является корнем кратности m Q(x), т.е. имеет место равенство Q(x)=(x²+px+q)m×Q1(x), Q1(z1)¹0, p²/4-q<0; то сущ M и NÎR и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)m+P1(x)/(x2+px+q)m-1Q1(x); При любых действит M и N имеет место: P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x²+px+q)m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x²+px+q)m=(Mx+N)/(x²+px+q)m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x²+px+q)mQ1(x) {T}Пусть P(x) and Q(x) –многочлены с действ многочленами причём degP(x)<degQ(x) и для Q(x) имеет место Q(x)=A×(x-a1)a1×…×(x-ar)ar×(x²+p1x+q)×(x²+psx+qs)ps, a1,…,arÎR,p1q1..psqsÎR, P²j/4-qj<0, j=1,…,s ;Тогда существуют числа Ai(j), I=1,..,r; j=1,…,aI Mi(j),Ni(j), I=1,…,s ; j=1,…,bI; P(x)/Q(x)=A1(1)/(x-a1)a1+..+A1(a1)/(x-a1)+…+A2(1)/(x-a2)a2+…+A2(a2)/(x-a2)a2+(M1(1)x+N1(1))/(x²+p1x+q1)b1+…+(M1(b1)x+N1(b1))/(x²+p1x+q1)+…+(Ms(1)x+Ns(1))/(x²+ps+qs)bs+…+(Ms(b)x+Ns(bs))/(x²+psx+qs). ; {}Из этого следует чтоò от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.òAdx/(x-a)=Aln|x-a|+C ; 2.òAdx/(x-a)m=Aò(x-a)-mdx=A/(1-m)(x-a)m-1+C 3.ò(Mx+N)dx/(x²+px+q)=(M/2)ln(x²+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.ò(Mx+N)dx/(x²+px+q)m=M/2(1-m)(x²+px+q)m-1+(N-MP/2)òdt/(t²+a²)m





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...