Главная Обратная связь

Дисциплины:






Несобственные интегралы



Интеграл называется несобственным, если его подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв на отрезке интегрирования, либо неограниченна сама область интегрирования.

Несобственный интеграл сходится, если существует предел этого интеграла в точке разрыва подынтегральной функции или в бесконечно удалённой точке. В противном случае, несобственный интеграл расходится.

Несобственные интегралы с неограниченными пределами интегрирования

1.

Пример: Вычислить или показать, что интеграл расходится

, значит, данный интеграл расходится.

2.

Пример: Вычислить или показать, что интеграл расходится

3. где

Пример: Вычислить или показать, что интеграл расходится

Несобственные интегралы от функций с бесконечным разрывом

1. где

Пример: Вычислить или показать, что интеграл расходится

Очевидно, что в точке функция разрывна

, значит, несобственный интеграл расходится.

2. где

Пример: Вычислить или показать, что интеграл расходится

Так как , то

.

3. Если функция имеет разрыв в точке , принадлежащей отрезку интегрирования , то

Пример: Вычислить или показать, что интеграл расходится

На отрезке интегрирования существует точка , в которой подынтегральная функция разрывна, тогда

 

, интеграл расходится.

Замечание: Если функция определена на отрезке и имеет внутри его конечное число точек разрыва , то

Если каждый интеграл в правой части сходится, то сходится интеграл .

Если же хотя бы один из интегралов в правой части расходится, то и интеграл расходится.

Признаки сходимости несобственных интегралов

Теорема 1: (признак сравнения)

Пусть заданы две функции и , причём для любого выполняется неравенство . Тогда, если

а). сходится, то сходится

б). расходится, то расходится.

Теорема 2: (предельный признак сравнения)

Пусть функции и эквивалентны в точке их разрыва или в бесконечно удалённой точке. Тогда несобственные интегралы от этих функций сходятся или расходятся одновременно.

Примеры:

1.

. Так как , то .

Рассмотрим , интеграл сходится, значит, по теореме 1 сходится исходный интеграл.

2.

при , так как .

интеграл расходится и по теореме 2 расходится исходный интеграл.

3.

при , так как

интеграл расходится и по теореме 2 расходится исходный интеграл.

Несобственные интегралы от функций,





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...