Главная Обратная связь

Дисциплины:






Методы подстановки и замены переменного



Первообразная функции и неопределенный интеграл

Функция называется первообразной функции , если

.

Другими словами, задача нахождения первообразной равносильна

восстановлению функции по ее производной .

Например, для функции , первообразная - .

Как видим, первообразная определяется не единственным образом, а

с точностью до постоянного слагаемого.

Вообще говоря, не любая функция имеет первообразную. Можно доказать, что любая непрерывная функция имеет первообразную, то есть непрерывность является достаточным условием существования первообразной для заданной функции.

Множество всех первообразных функции функций называется неопределенным интегралом и обозначается символом , таким образом:

, .

Отметим, что операции дифференцирования и интегрирования взаимнообратны в следующем смысле:

1) ,

2) .

Таблица интегралов

1) 7) ,

2) , 8) ,

3) , 9) ,

4) , 10) ,

5) , 11) ,

6) , 12) .

Нетрудно заметить, что большинство формул таблицы получено из таблицы производных.

Примеры применения формулы 1):

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .

Как мы увидим в дальнейшем, особую роль при вычислении интегралов играют формулы 9) – 12). Рассмотрим примеры их применения:

Пример 5. .

Пример 6. .

Пример 7.

.

 

Методы подстановки и замены переменного

 

Пусть требуется найти неопределенный интеграл от непрерывной функции на интервале (a;b).

Рассмотрим некоторую функцию , которая имеет непрерывную производную и обратную функцию . (Например: монотонна). Тогда справедлива формула:

 

. (2.1)

 

В некоторых ситуациях удается подобрать функцию так, что интеграл в правой части (1) оказывается проще, чем в левой части. Такой прием называется методом замены переменной. На практике часто формулу используют в обратную сторону:

(2.1)

Другими словами, если подынтегральное выражение может быть записано в форме левой части (2.1), то с помощью подстановки получаем более простой интеграл.

Пример 8. .

Пример 9.

.

Правильность вычисления интеграла можно проверить: производная найденного интеграла должна совпадать с подынтегральной функцией. В нашем примере:

.

Пример 10. .

Пример 11. .

На практике часто используется следующая простая формула:

, (2.2)

где - первообразная для функции .

Пример 12. .

Пример 13. .

Пример 14. .

 

Вопросы для самопроверки

1. Что называется первообразной функции ?

2. Что означает произвольная постоянная интегрирования С?



3. В чем заключается основная идея метода замены переменной?

4. Каким условиям должна удовлетворять функция при замене переменной?

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...