Главная Обратная связь

Дисциплины:






Свойства неопределенных интегралов



Неопред.интегр.

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.).

Функция F(x) называется первообразнойпо отношению к функ-

ции f(x) на некотором множестве X, если на этом множестве функция F(x) дифференцируема и удовлетворяет уравнению F¢(x) = f(x) или, dF(x) = f(x)dx.

Теорема 2 (о первообразных).

Если F(x) - одна из первообразных функции f(x) на заданном множестве, то все ее первообразные имеют вид F(x) + С, где С– произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для функции f(x), то есть выражение F(x) + C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом и обозначается

,

Теорема 3 (существование неопределенного интеграла)

Если функция непрерывна на данном множестве,то существует первообразная, а значит,иинтеграл .

· Знак называется знаком неопределенного интеграла;

· Функция f(x) называется подынтегральной;

· Произведение f(x)dx называется подынтегральным выражением;

· F(x) – одна из первообразных;

· хпеременная интегрирования;

· Процесс нахождения первообразной называется интегрированием.

! Помни: Правильность интегрирования всегда можно проверить

дифференцированием результата.

 

 

Свойства неопределенных интегралов

 

Свойство 1. , т. е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Пример:

Свойство 2. , т. е. дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

Пример:

 

Свойство 3. .

Пример:

Свойство 4. .

Пример:

 

Свойство 5. (аддитивности) .

Пример:

 

Свойство 6. (линейности) .

Пример:

Свойство 7.Если , то .

 

Свойство8.(Инвариантность)


Мeтод 1. Непосредственное интегрирование

 

Отыскание неопределенных интегралов с помощью свойств интегралов, таблицы интегралов и алгебраических, тригонометрических преобразований подынтегральной функции называется непосредственным интегрированием.

б) (применили свойство степени , и свойства неопределенного интеграла);

в) (применили формулу ).

Метод 2. Метод замены переменной

Применение теоремы об инвариантности формул интегрирования к

нахождению первообразной называют методом замены переменной. Если под знаком интеграла стоит произведение двух функций, причем одна из них является производной от второй или её промежуточного аргумента, то за переменную интегрирования можно взять функцию, производная от которой стоит под знаком интеграла.



Существуют следующие варианты этого метода: метод введения новой переменной и подведения под знак дифференциала.

 

а) Метод введения нового аргумента.

Во многих случаях введение нового аргумента (переменной) интегрирования позволяет свести вычисление данного интеграла к нахождению табличного.

 

Так как F¢(t) = f(t), t = φ(x), то по правилу дифференцирования сложной функции

 

и, следовательно, первообразная от f(φ(x))φ/( x) есть F(φ(x)), т. е.

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание. После вычисления интеграла нужно перейти к

переменной х.

 

б) Метод подведения под знак дифференциала

(частный случай замены переменной).

 

Если под интегралом стоит функция можно

преобразовать соответственно дифференциал, т.е.

(2)

Преобразование (2) называется подведением функции под знак дифференциала.

Тогда .

 

Для преобразования подынтегрального выражения к виду (2)

применяются простейшие преобразования дифференциалов и

таблица дифференциалов:





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...