Главная Обратная связь

Дисциплины:






Интегралы, сводящиеся к интегрированию рациональных дробей



Рациональной функцией будем называть функцию, при вычислении которой используются следующие математические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень.

 

Интегралы вида .

Данный интеграл сводится к интегрированию рациональных дробей заменой переменной . Тогда , .

После подстановки получаем

.

Полученное выражение является рациональной дробью.

 

Задача.Найти

Сделаем замену переменной . Тогда , .

После подстановки получаем

Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде

 

.

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.

Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен - знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим

.

В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

.

 

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.

.

Тогда =

Подставляя , получаем =

 

Найти

Сделаем замену переменной . Тогда , .

После подстановки получаем

Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде

 

.

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.

Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен - знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим

.

В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

 

.

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.

.

 

Тогда

=

=

 

=

 

=

 

=

Подставляя , получаем

 

= .

 

Задача.Найти

Сделаем замену переменной . Тогда , .

После подстановки получаем

Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде

=.

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.

Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен - знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим

.

 

В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

 

.

 

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.



.

Тогда

.

Подставляя , получаем

 

= .

 

Интегралы вида .

Данный неопределенный интеграл сводится к интегрированию рациональной дроби по следующей схеме.

Обозначим через - наименьшее общее кратное чисел . (На всякий случай напомним, что наименьшим общим кратным для некоторого множества целых чисел называется такое наименьшее целое число, которое делится без остатка на все числа данного множества.)

Сделаем замену переменной . Тогда .

После указанной замены подынтегральное выражение превращается в рациональную дробь.

Рассмотрим примеры.

Задача.Найти .

Подынтегральная функция содержит и .

Наименьшим целым числом, которое делится на 2 и на 3 является число 6.

Сделаем замену , . Тогда . Напомним, что

. Следовательно , .

Тогда

.

 

Выражение, стоящее под знаком интеграла является неправильной рациональной дробью. Следовательно, его можно представить как сумму многочлена и правильной рациональной дроби.

 

Имеем

 

Следовательно

 

Подставляя , получаем

 

= .

 

Задача.Найти

Сделаем замену переменной . Тогда , , . Тогда получаем

.

Подставляя , получаем окончательный ответ

.

 

Интегралы вида .

Данный интеграл сводится к интегрированию рациональных дробей путем следующей замены (так называемая «универсальная тригонометрическая подстановка»). Обозначим . Тогда , .

Из школьного курса тригонометрии известны формулы выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла. На всякий случай мы напомним эти формулы. Итак:

 

. .

Такая подстановка приводит вычисление исходного интеграла к интегрированию рациональной дроби.

Задача.Найти .

Сделаем замену переменной . Тогда

 

= .

Таким образом:

= .

 

Задача.Найти .

Используя замену , получаем

.

То есть .

 

Рассмотрим еще один класс интегралов – интегралы вида .

Поскольку , то данный тип интегралов можно вычислять, используя универсальную тригонометрическую подстановку. Однако существует замена переменной, которая позволяет вычислить этот интеграл более просто. Такой заменой является . Тогда , . После такой подстановки вычисление интеграла сводится к интегрированию рациональной дроби.

 

Задача.Найти .

Сначала убедимся, что данный интеграл действительно относится к указанному типу. Для этого преобразуем данное выражение

.

Выражение является правильной рациональной дробью и может быть разложено в сумму простейших рациональных дробей. Имеем

 

После приведения к общему знаменателю в правой и левой частях получаем

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений

Решая эту систему, получаем

.

Следовательно

 

=

=

= .

Получаем = .

 

Задача.Найти

После замены переменной получаем

= .

Следовательно

= .

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...