Главная Обратная связь

Дисциплины:






Метод окремих значень аргументу. 2 страница



 

, (2.6)

 

в якому підинтегральний вираз можливо представити у вигляді:

, (2.7)

 

де для функції відома первісна , а є неперервною функцією. Тоді

 


введення функції

під знак диференціала


властивість інваріантності формул інтегрування (2.2)


 

Приклад 2.5. Знайти інтеграли:

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) .

 

Розв’язання.

1)

 

.

 

2)

 

.

3)

 

.

 

4)

 

.

 

5)

 

.

 

6) Звертаємо увагу, що інтеграл було знайдено (приклад 1.4; 6)) з використанням властивості 6 невизначеного інтеграла. Для знаходження цього інтегралу можна також застосувати операцію введення функції під знак диференціала:

 

.

 

Зауваження.

 

1. На практиці часто користуються формулами, які є узагаль­неннями результатів прикладів 1) і 2), а саме:

 

;

.

 

2. Доцільно пам’ятати наступні формули для диференціалів, що найбільш часто зустрічаються на практиці:

 

; ;

 

; ;

 

; ;

 

; ;

 

; .

 

Таким чином, у випадках, коли треба знайти , в якому підінтегральний вираз можна представити у вигляді (2.7), застосовують властивість інваріантності формул інтегрування (2.2), що дозволяє одержати результат

 

.

 

Можна користуватися записом (2.1) цієї властивості

 

,

в якому . Це передбачає введення нової змінної інтегрування , тобто здійснення заміни змінної так званого першого типу.

 

2.2.3. Перший тип заміни змінної

 

Функція незалежної змінної заміняється новою змінною:

 

.

 

 

.

властивість

інваріантності

формул інтегру-

вання (2.1)

 

Застосуємо заміну змінної до розв’язання прикладу 2.5.

Приклад 2.6. Знайти інтеграли:

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) .

 

Розв’язання.

1)

 

.

 

2)

 

.

 

3)

 

.

 

4)

 

.

 

5)

 

.

 

6)

 

.

Звертаємо увагу, що в прикладах 5) і 6) перетворення підинтегрального виразу до вигляду

 

 

не здійснювалось. Відповідну заміну змінної було спробувано в передбаченні, що таке представлення є можливим. В ітозі вдалося одержати вірні результати інтегрування.

Підкреслимо, що загального «рецепту» вибору тієї чи іншої заміни не існує. Однак, слід мати на увазі наступну рекомендацію: якщо в підінтегральному виразі є готовий диференціал функції (тобто ), або вираз, що відрізняється від лише сталим множником, то є сенс спробувати заміну .



 

Приклад 2.7. Знайти інтеграли:

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) ;

 

5) ; 6) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

.

2)

 

.

 

3)

 

.

 

4)

 

.

 

5)

 

.

 

В цьому прикладі після почленного ділення чисельника дробу підинтегральної функції на знаменник заданий інтеграл зведено до суми двох інтегралів: та .

Перший інтеграл знаходяться безпосередньо:

 

 

.

 

Другий інтеграл береться заміною змінної:

 

 

.

 

Отже, заданий інтеграл

 

.

 

6)

 

.

 

В даному прикладі для досягнення результату довелося зробити заміну змінної двічі. Перша заміна дозволила спростити заданий інтеграл, а друга заміна звела проміжковий інтеграл до табличного інтегралу: .

 

Зауваження. З формул (2.1) і (2.2) випливає справедливість рівності

 

, (2.8)

 

де є функцією з неперервною похідною. Змінюючи місцями букви і в формулі (2.8), одержимо:

 

. (2.9)

 

Отже формула (2.9) є основою другого типа заміни змінної – підстановки.

 

 

2.2.4. Другий тип заміни змінної (підстановка)

 

Незалежна змінна заміняється функцією нової змінної

 

,

 

де має обернену функцію .

Розглянемо у загальному вигляді умови застосування другого типу заміни змінної і наведемо приклади.

 

інтеграл формула для функції

складний для (2.9) відома первісна

безпосереднього

інтегрування

.

Приклад 2.8. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) .

 

Розв’язання.

 

1) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі . Щоб позбутися ірраціональності у знаменнику підинтегральної функції, виконаємо підстановку:

, де . Функція має неперервну похідну в своєї області визначення і має обернену функцію . Отже,

 

 

 

.

 

2)

 

.

 

3) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі . Щоб позбутися ірраціональності, виконаємо підстановку

 

( , де ).

 

Функція має неперервну похідну в своєї області визначення і обернену функцію . Маємо

 

 

 

.

 

4)

 

 

 

.

 

5) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі . Дійсно, . Щоб позбутися ірраціональності в знаменнику підинтегральної функції в результаті застосування основної тригонометричної тотожності, виконаємо підстановку: , де . є неперервною функцією в області визначення . Функція має обернену функцію , . Отже

 

 

.

Зауважимо, що коли функція . Тому при розв’язанні прикладу правомірний наступний перехід: .

 

6)

 

.

 

Таким чином, на практиці застосують перший і другий типи заміни змінної. Заміну змінної підбирають так, щоб в результаті перетворень інтеграли були табличними або зводилися до відомих інтегралів.

Після застосування методу заміни змінної завжди необхідно повернутися до заданої змінної інтегрування.

 

2.3. Метод інтегрування частинами

2.3.1. Формула інтегрування частинами,
її зміст та рекомендації щодо застосування.

Метод інтегрування частинами ґрунтується на використанні формули диференціала добутку двох функцій:

 

,

 

звідки випливає рівність

 

.

 

Інтегруючи обидві частини останньої рівності, одержимо

 

або

 

.

 

Оскільки до складу невизначеного інтеграла вже входить довільна стала, то до неї можна приєднати і доданок С. Отже, одержуємо формулу інтегруванні частинами:

 

. (2.10)

 

Зміст цієї формули полягає у тому, що при обчисленні невизначеного інтегралу підинтегральний вираз деяким чином представляється у вигляді добутку двох множників: і , тобто

 

.

 

Після цього обчислення інтегралу виконується двома інтегруваннями:

1) при обчисленні із виразу :

 

;

 

2) при обчисленні інтегралу в правій частині формули (2.10):

 

.

 

Замість одного складного інтегрування виконуються два, більш простих.

Таким чином, інтегрування виконується частинами.

 

Приклад 2.9. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Представимо підинтегральний вираз у вигляді добутку двох множників х і . Нехай і . Продиференціюємо множник і проінтегруємо множник :

 

.

Зауважимо, що в результаті останнього інтегрування достатньо знайти один множник , тому вважають, що стала інтегрування .

Маємо

 

формула інтегрування частинами (2.10)

.

 

Звертаємо увагу на те, що при інтегруванні частинами треба намагатися, щоб інтеграл справа в формулі (2.10) був простішим, ніж інтеграл зліва.

В розглянутому прикладі, якщо зробити вибір множників і навпаки, ми одержимо справа більш складний інтеграл, ніж зліва:

 

 

.

 

Взагалі метод інтегрування частинами має більш обмежену область застосування, ніж метод заміни змінної. Але існують класи інтегралів, які обчислюються саме методом інтегрування частинами. Укажемо ці класи і надамо рекомендації щодо розбиття підинтегрального виразу на множники і табл. 1.

 

Таблиця 1 – Деякі рекомендації щодо вибору множників u і dv в методі інтегрування частинами

 

№ класу Вид інтегралу u dv
І   – многочлен; – дійсне число
ІІ – алгебраїчна функція; – дійсне число ; – натуральне число
ІІІ Можливий довільний вибір множників u і dv. Після двократного застосування формулі (2.10) одержується лінійне рівняння відносно шуканого інтегралу
ІV

 

Приклад 2.9. Знайти інтеграли.

 

1) ; 2) ;

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...