Главная Обратная связь

Дисциплины:






Метод окремих значень аргументу. 3 страница



3) ; 4) .

 

При знаходженні всіх інтегралів даного прикладу будемо дотримуватися рекомендацій п. І таблиці 1, відповідно до яких за приймають многочлен, степінь якого при диференціюванні понижується.

 

Розв’язання.

 

1)

формула (2.10)

 

 

.

 

2)

формула (2.10)

 

.

 

3)

формула (2.10)

 

.

 

4)

формула (2.10)

 

 

.

 

При знаходженні інтегралів наступного прикладу будемо дотримуватись рекомендацій п. ІІ таблиці. За множник приймають трансцендентну функцію , , або , яка спрощується при диференціюванні.

 

Приклад 2.10. Знайти інтеграли.

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

 

 

.

 

2)

 

.

 

3)

 

.

 

4)

 

 

 

.

 

2.3.2. Двократне застосування формули
інтегрування частинами

 

Іноді для знаходження інтегралів формулу інтегрування частинами (2.10) доводиться застосовувати кілька разів. Розглянемо приклад щодо двократного застосування цієї формули.

 

Приклад 2.11.Знайти інтеграли.

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1)

Клас І (табл. 1)

Клас І (табл. 1)

 

.

 

2)

Клас ІІ (табл. 1)

Клас ІІ (табл. 1)

.

3)

Клас ІІ (табл. 1)

 

 

 

 

.

 

4)

 

 
 
вибір множників і тепер слід обирати, як при першому інтегруванні


 

 

 

.

 

В результаті двократного інтегрування частинами в правій частині рівності одержано шуканий інтеграл . Позначимо цей інтеграл І. Отже, одержано лінійне рівняння відносно шуканого інтегралу І:

 

. (*)

 

. (**)

 

.

 

.

 

.

 

Зауваження. Пояснимо появу сталого множника С в рівності (**). Справа в тому, що кожний з інтегралів І в лівій і правій частині рівності (*) являє собою вираз

 

,

 

де – яка-небудь первісна для , а С – довільна стала, яка може обиратися для цих інтегралів по різному. Тому інтеграл І в лівій і правій частині рівності (*) можуть відрізнятися на сталу.

2.3.3. Застосування методу інтегрування частинами
в комбінації з методом заміни змінної.

 

Приклад 2.12. Знайти інтеграли.

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1)

 



 

.

 

2)

 

 

 

.

 

3)

 

 

 

 

.

 

4)

 

.

 

Знайдемо методом заміни змінної.

 

 

 

 

.

 

Отже,

 

.

 


3. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ ВИРАЗІВ,
ЩО МІСТЯТЬ КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН

 

На практиці часто зустрічаються інтеграли, що містять квадратний тричлен у знаменнику підинтегрального виразу, а саме

 

; ;

 

; .

 

Наведемо алгоритми знаходження кожного з цих інтегралів і розглянемо відповідні приклади.

 

3.1. Знаходження інтегралу

(3.1)

 

Цей інтеграл знаходиться шляхом виділення повного квадрату з квадратного тричлену , що міститься в знаменнику підинтегрального виразу. В результаті одержується табличний інтеграл виду

 

або .

 

Дійсно, перетворимо квадратний тричлен у знаменнику так, щоб він уявляв собою суму або різницю квадратів:

 

 

.

 

Позначимо

 

Тоді .

 

 

.

 

Одержано табличні інтеграли:

 

 

або

 

.

 

Приклад 3.1.Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

 

.

 

2)

 

.

 

3)

 

.

 

4)

 

.

 

3.2. Знаходження інтегралу

 

(3.2)

 

Аналогічно п. 3.1. перетворимо підкорінний вираз в зна­меннику підинтегральної функції так, щоб він уявляв собою суму або різницю квадратів.

 

.

Тоді

а) якщо , оскільки , то .

Отже,

 

;

 

б) якщо , оскільки , то , де .

Отже,

 

.

 

Приклад 3.2.Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

Розв’язання.

 

1)

 

 

.

 

2) .

 

 

 

 

.

3.3. Знаходження інтегралу

 

(3.3)

 

Цей інтеграл знаходиться шляхом виділення в чисельнику підинтегрального виразу похідної знаменника . Після зазначеного перетворення інтеграл представляється у вигляді суми двох інтегралів, один з яких є інтегралом .

Дійсно перетворимо підинтегральний вираз в інтегралі :

 

 

 

.

 

Знайдемо

 

 

.

 

Отже,

 

.

 

Приклад 3.3. Знайти інтеграли.

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

.

 

Знайдемо перший доданок суми:

 

 

.

 

Знайдемо другий доданок суми:

 

 

.

 

Отже, даний інтеграл

 

.

2)

 

.

 

Знайдемо перший доданок суми:

 

 

.

 

Знайдемо другий доданок суми:

 

 

 

.

 

Отже, даний інтеграл

 

.

 

 

3)

 

 

 

 

 

.

 

 

4)

 

 

 

 

.

 

 

3.4. Знаходження інтегралу

 

(3.4)

 

Аналогічно п 3.3 для знаходження інтегралу застосують прийом виділення в чисельнику підинтегрального виразу похідної знаменника. Після зазначеного перетворення інтеграл представ­ляється у вигляді суми двох інтегралів, один з яких є інтегралом .

Дійсно, перетворимо підинтегральний вираз в інтегралі :

 

 

 

.

 

Знайдемо

 

 

.

 

 

Отже,

 

.

 

Приклад 3.4. Знайти інтеграли:

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

.

 

Знайдемо

 

 

.

 

Знайдемо

 

 

 

.

Таким чином, даний інтеграл

 

.

 

2)

 

 

 

 

 

.

 


 

4. ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

Раціональні функції складають важливий клас функцій, інтеграли від яких завжди виражаються через елементарні функції.

 

4.1. Деякі відомості про раціональні функції

 

4.1.1. Ціла раціональна функція

 

Означення. Многочленом (поліномом або цілою раціональною функцією) називається функція

 

, (4.1)

 

де – степінь многочлена (натуральне число);

– коефіцієнти многочлена (дійсні або комплексні числа).

Означення. Коренем многочлена (4.1) називається таке числове значення (дійсне або комплексне), при якому многочлен перетворюється в нуль, тобто .

Теорема 4.1. (Безу). Остача від ділення многочлена на різницю дорівнює .

Пояснимо зміст теореми Безу. При діленні многочлена -го степеня на двочлен першого степеня дістанемо деякий многочлен -го степеня і остачу – певне число:

 

. (4.2)

 

Теорема стверджує, що .

 

Зокрема, якщо – корінь многочлена , то

 

. (4.3)

 

Таким чином, з теореми Безу випливає

Наслідок. Якщо – корінь многочлена , то многочлен можна представити у вигляді добутку





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...