Главная Обратная связь

Дисциплины:






Метод окремих значень аргументу. 4 страница



 

. (4.4)

 

Виникає запитання. Чи всякий многочлен має корені? Позитивну відповідь на це запитання дає основна теорема алгебри.

Теорема 4.2 (основна теорема алгебри).Всякий многочлен степеня має хоча б один корінь (дійсний або комплексний).

З основної теореми алгебри випливає, що многочлен (4.1) завжди можна записати у вигляді (4.4). Неважко помітити (наприклад, з процедури ділення многочлена на двочлен «у стовпчик»), що старший коефіцієнт многочлена , тобто коефіцієнт при , дорівнює .

Приклад 4.1. Поділити многочлен на двочлен «у стовпчик».

Розв’язання.

 

Якщо степінь многочлена не дорівнює нулю, тобто , то до цього многочлена знов можна застосувати теорему 4.2 і наслідок з теореми Безу. Продовжуючи цей процес, приходимо до такого твердження.

Теорема 4.3.Всякий многочлен -го степеня можна подати у вигляді

 

, (4.5)

 

де – корені многочлена;

– старший коефіцієнт многочлена (коефіцієнт при ).

Вираз (4.5) називається розкладом многочлена на лінійні множники .

Якщо деякі з лінійних множників у виразі (4.5) однакові, то їх можна об’єднати. Тоді розклад (4.5) матиме вигляд

 

, (4.6)

 

де – число різних коренів;

– цілі числа, що називаються крайностями коренів

 

.

 

Корінь кратності одиниця називається простим.

Будемо надалі розглядати тільки многочлени з дійсними коефіцієнтами.

Серед коренів представлення (4.6) можуть бути і комплексні числа. Справедливе наступне твердження.

Теорема 4.4. Нехай + і – комплексний корінь многочлена (4.1) з дійсними коефіцієнтами. Тоді комплексно-спряжене число
– і також є коренем цього многочлена.

Перемножимо лінійні множники, що відповідають комплексно-спряженим кореням + і і – і у розкладі (4.6)

 

 

,

 

де , – дійсні числа.

Одержано квадратний тричлен з дійсними коефіцієнтами і від’ємним дискримінантом

 

.

 

Об’єднуючи у формулі (4.6) множники із комплексно-спряженими коренями, дістанемо

 

.

 

де – кратності дійсних коренів;

– кратності комплексно-спряжених коренів;

;

; ; – дійсні числа

 

Висновок. Всякий многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти (і притому єдиним способом) на лінійні та квадратичні (з від’ємним дискримінантом) множники з дійсними коефіцієнтами.

Приклад 4.2.Розкласти на множники з дійсними коефіцієнтами многочлени

 

1) ; 2) ; 3) .

 

Розв’язання.

1) Розглянемо квадратний тричлен . Його дискри­мінант . При розкладанні на множ­ники квадратного тричлена у випадку користу­ються формулою



 

,

 

де – корені рівняння , що знаходяться за формулою

 

.

 

Знайдемо корені рівняння .

 

, .

Тому .

 

2) Розглянемо многочлен .

Для розкладання на множники застосуємо спосіб групування:

 

 

 

.

 

Перевіримо, чи можна розкласти на лінійні множники з дійсними коефіцієнтами квадратний тричлен . Обчислимо його дискримінант . Дискримінант додатній. Обчислимо дійсні корені квадратного тричлена

 

.

 

Таким чином, .

Тому, .

 

3) Легко перевірити підстановкою у многочлен , що є коренем многочлена. За наслідком з теореми Безу (4.4) даний многочлен ділиться без остачі на двочлен . Виконаємо це ділення «у стовпчик».

 

 

Маємо:

 

.

 

Оскільки дискримінант квадратного тричлену , то здійснити розклад квадратного тричлену на лінійні множники з дійсними коефіцієнтами неможливо.

Кінцевий результат: .

 

Справедливі наступні твердження.

Твердження 4.1.

Якщо многочлен тотожно дорівнює нулю (дорівнює нулю при довільних значеннях ), то всі його коефіцієнти дорівнюють нулю.

 

Твердження 4.2.

Якщо многочлени тотожно дорівнюють один одному, то вони мають рівні степені і рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях .

 

4.1.2. Дробово-раціональна функція

 

Означення. Дробово-раціональною функцією (раціональним дробом) називається відношення двох многочленів:

 

. (4.8)

 

Зауважимо, що клас раціональних функцій уявляє собою сукупність цілих раціональних і дробово раціональних функцій.

Означення. Дріб називається правильним, якщо степінь чисельника менше, ніж степінь знаменника . У протилежному випадку дріб називається неправильним.

 

Приклад 4.3.

 

– правильний дріб,

 

– неправильний дріб.

 

Якщо раціональний дріб неправильний, то виконавши ділення, його можна представити у вигляді суми многочлену і правильного раціонального дробу :

 

. (4.9)

 

Приклад 4.4.Виділити цілу частину неправильного раціонального дробу

 

.

 

Розв’язання. Виконаємо ділення чисельника на знаменник «у стовпчик».

 

 

Отже, .

 

Означення. Елементарними раціональними дробами називаються правильні раціональні дроби наступних чотирьох видів:

 

І. ; ІІ. ;

(4.10)

ІІІ. ; ІV. .

 

де – дійсні числа; .

 

 

4.2. Розклад правильного раціонального дробу
на елементарні дроби

 

Виявляється, що всякий правильний раціональний дріб може бути єдиним чином представленим у вигляді суми скінченної кількості елементарних дробів. Таке представлення безпосередньо пов’язане із розкладом знаменника дробу на множники.

 

 

4.2.1. Теоретичне обґрунтування

 

Теорема 4.5. Нехай дано правильний раціональний дріб , причому многочлен має вигляд:

 

, (4.11)

 

де – кратності дійсних коренів;

– кратності комплексно-спряжених коренів.

 

Тоді даний дріб можна єдиним чином представити у вигляді:

 

(4.12)

 

де – деякі дійсні числа

Вираз (4.12) називається розкладом правильного раціонального дробу на елементарні дроби.

Пояснимо зміст теореми 4.5.

1. Кожному множнику виду в розкладі (4.11) знаменника даного дробу відповідає сума елементарних дробів виду

 

 

в розкладі (4.12) даного дробу.

Аналогічні твердження справедливі для множників

 

.

 

2. Кожному множнику виду в розкладі (4.11) знаменника даного дробу відповідає сума елементарних дробів виду

 

 

в розкладі (4.12) даного дробу.

Аналогічні твердження справедливі для множників

 

.

 

З теореми 4.5 випливає наступний алгоритм розкладу правильного раціонального дробу на елементарні дроби.

 

4.2.2. Алгоритм розкладу правильного раціонального дробу
на елементарні дроби

 

1. Розкласти знаменник на лінійні і квадратичні множники з дійсними коефіцієнтами (квадратичні множники не мають дійсних коренів).

2. Записати розклад даного правильного раціонального дробу на суму елементарних дробів з невідомими коефіцієнтами (за 4.12).

3. Одержану рівність умножити на знаменник .

4. Знайти невідомі коефіцієнти одним з методів, що наведені в наступному п 4.2.3.

 

4.2.3. Методи знаходження невідомих коефіцієнтів
у розкладі правильного раціонального дробу

 

Наведемо два найбільш розповсюджених методи знаходження невідомих коефіцієнтів в чисельниках елементарних дробів розкладу (4.12).

 

Метод окремих значень аргументу.

Помножимо обидві частини рівності (4.12) на знаменник даного дробу , внаслідок чого дістанемо два тотожно рівних многочлени: зліва відомий многочлен , справа – многочлен з невідомими коефіцієнтами . Будемо надавати змінній конкретні числові значення стільки разів, скільки є невідомих коефіцієнтів. Дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо шукані коефіцієнти.

Зауважимо, що система рівнянь значно спрощується, якщо змінній надавати значення дійсних коренів знаменника .

 

Приклад 4.5. Розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб

 

.

 

Розв’язання. Згідно до результату (4.12) теореми 4.5 запишемо розклад даного правильного раціонального дробу на елементарні дроби з невідомими коефіцієнтами:

(4.13)

 

Після множення обох частин рівності (4.13) на знаменник даного дробу одержимо тотожно рівні многочлени:

 

.

 

Надамо по черзі значення дійсних коренів знаменника даного дробу: .

 

При , звідки , .

 

При : , звідки , .

 

При : , звідки .

 

Маємо

 

.

 

Приклад 4.6. Розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб

 

.

 

Розв’язання. Запишемо розклад даного правильного раціо­нального дробу на елементарні дроби з невідомими коефіцієнтами (4.12):

 

. (4.14)

Після множення обох частин рівності (4.14) на знаменник даного дробу одержимо тотожно рівні многочлени:

 

.

 

Надамо по черзі значення дійсних коренів знаменника даного дробу: .

 

При : , звідки , .

 

При : , звідки , .

 

Залишається визначити коефіцієнт . Надамо ще одне довільне числове значення, наприклад, .

 

При : , звідки

.

 

Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів і , одержимо

 

, , , .

 

Отже,

 

.

 

Зауваження. Застосування методу окремих значень аргументу є особливо зручним, коли знаменник даного дробу має тільки дійсні прості корені (приклад 4.5).

 

2. Метод невизначених коефіцієнтів.

Нехай після спрощення обох частин розкладу (4.12) маємо два тотожно рівних многочлени (зліва – з відомими коефіцієнтами, справа – з невідомими коефіцієнтами).

З тотожної рівності многочленів випливає, що вони мають рівні степені і рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях (Твердження 4.2). Прирівнюючи коефіцієнти многочленів при однакових степенях , дістанемо систему лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів.

 

Приклад 4.7. розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб .

Розв’язання. В прикладі 4.5. було одержано розклад даного дробу методом окремих значень аргументу. Застосуємо метод невизначених коефіцієнтів. Після одержання тотожно рівних многочленів

 

 

за результатом алгебраїчних перетворень маємо

 

.

 

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях в лівій і правій частинах рівності:

 

 

Розв’яжемо одержану системи лінійних рівнянь.

 

; ;

 

; ;

 

Отже,

 

.

 

Звертаємо увагу, що застосування методу окремих значень аргументу до розв’язання цього прикладу є зручнішим.

На практиці часто користуються так званим комбінованим методом, згідно до якого деякі з невідомих коефіцієнтів визначають методом окремих значень аргументу, а інші – методом невизначених коефіцієнтів.

 

Приклад 4.8. Розкласти на елементарні дроби правильний раціональний дріб .

 

Розв’язання. Цей розклад вже було одержано в прикладі 4.6 методом окремих значень аргументу.

Застосуємо для розв’язання цього прикладу комбінований метод. З (4.14)

,

 

звідки

 

. (4.15)

 

В прикладі 4.6 в результаті надання значень дійсних коренів знаменника ( і ) було одержано

 

; .

 

Для знаходження коефіцієнта прирівняємо в (4.15) коефіцієнти при в лівій і правій частинах.

 

 

Отже маємо кінцевий результат прикладу (4.6)

 

.

 

4.3. Інтегрування цілих раціональних функцій

 

Інтегрування многочлена (4.1) утруднень не викликає. Воно зводиться до інтегрування алгебраїчної суми степеневих функцій (табличний інтеграл 2, п 1.2).





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...