Главная Обратная связь

Дисциплины:






Метод окремих значень аргументу. 5 страница



 

4.4. Інтегрування раціональних дробів

 

4.4.1. Інтегрування елементарних раціональних дробів

 

Розглянемо інтегрування елементарних раціональних дробів кожного з чотирьох видів (4.10)

 

І. (табличний інтеграл 3, п. 1.2).

 

ІІ. (табличний інтеграл 2, п. 1.2).

 

ІІІ. .

 

Цей результат одержується за методикою знаходження інтегралу (п. 3.3).

 

IV. З методами знаходження пропонуємо ознайомитися в літературі ([ 2 ]).

 

 

4.4.2. Інтегрування правильних раціональних дробів.

 

Правило. Для того, щоб проінтегрувати правильний раціональний дріб треба

 

1. Розкласти правильний раціональний дріб на елементарні дроби (за алгоритмом п. 4.2.2).

2. Обчислити як суму інтегралів від знайдених дробів.

 

Розглянемо три випадки.

 

1. Знаменник дробу має тільки дійсні прості корені.

Приклад 4.9. Знайти .

 

Розв’язання. Запишемо розклад підинтегрального правильного раціонального дробу на суму елементарних дробів з невідомими коефіцієнтами (4.12):

 

.

 

.

 

Знайдемо коефіцієнти методом окремих значень аргументу

 

При : , звідки .

 

При : , звідки .

 

При : , звідки .

 

Отже,

 

.

 

Тому

 

 

.

 

2. Знаменник дробу має тільки дійсні корені, серед яких є кратні.

Приклад 4.10. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання

 

1) Запишемо розклад підинтегрального правильного раціо­нального дробу на суму елементарних дробів з невідомим коефіцієнтами (4.12):

 

;

 

; (4.16)

 

Для знаходження коефіцієнтів , і застосуємо комбіно­ваний метод (п. 4.2.3)

 

При : .

 

При : .

 

Для знаходження прирівнюємо коефіцієнти при в лівій і правій частинах рівності (4.16)

 

.

 

Маємо

 

.

Тому

 

.

 

2) Запишемо розклад знаменника на лінійні множники:

 

.

 

Корені знаменника: (двократний), (простий).

За розкладом (4.12)

 

.

 

.

 

Скористуємось комбінованим методом знаходження , , .

 

При : .

 

При : .

 

Знайдемо :

 

.

 

Отже,

 

.

 

.

 

 

3. Знаменник дробу має комплексно-спряжені корені, серед яких нема кратних

Приклад 4.11. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.

 

1) Розкладемо на множники з дійсними коефіцієнтами знаменник підинтегрального дробу .



 

.

 

Дискримінант квадратного тричлена від’ємний , тому за (4.12)

 

.

 

.

 

Скористуємось комбінованим методом знаходження .

 

При .

 

; ; .

 

Маємо

 

.

 

Отже,

 

 

 

 

.

 

2) Розглянемо .

 

Квадратний тричлен в знаменнику підинтегра­льного дробу має від’ємний дискримінант . Тому за (4.12) розклад підинтегрального дробу має вигляд

 

.

 

При ,

 

.

 

; ; .

 

Таким чином,

 

.

 

 

 

 

 

.

 

 

4.4.3. Інтегрування неправильних раціональних дробів.

 

Правило. Для того, щоб про інтегрувати неправильний раціо­нальний дріб , треба

 

1. Виділити цілу частину з неправильного раціонального дробу (п. 4.1.2).

2. Обчислити як суму інтегралів від цілої раці­она­льної функції (п. 4.3) і правильного раціонального дробу (п 4.4.2).

 

Приклад 4.12. Знайти інтеграл

 

.

 

Розв’язання. Підинтегральна функція – неправильний раціо­нальний дріб (степінь чисельника вищий за степінь знаменника). Виділимо цілу частинну.

 

 

Отже,

 

 

.

Перейдемо до інтегрування правильного раціонального дробу

 

.

 

Розкладемо знаменник дробу на множники

 

.

 

Квадратичний множник має від’ємний дискри­мінант. За (4.12)

 

.

 

.

 

При .

 

; ; .

 

Таким чином,

 

.

 

 

 

 

 

.

 

Кінцевий результат

 

 

.

 

 


5. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ
ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ ФУНКЦІЙ

 

Насамперед зауважимо, що інтеграли від трансцендентних функцій не завжди обчислюються в елементарних функціях. Розглянемо деякі типи інтегралів, які за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій (п. 4) або до табличних інтегралів (п. 1).

 

5.1. Раціональна функція двох змінних

 

Означення. Раціональною функцією двох змінних називається функція, що залежить від двох змінних і деяких сталих, над якими виконується тільки скінченна кількість чотирьох арифметичних дій: додавання, віднімання, множення і ділення.

Приклад 5.1.

 

є раціональною функцією від і .

Якщо змінні і , в свою чергу, є функціями незалежної змінної :

 

,

 

то функція є раціональною функцією від і .

Приклад 5.2.

 

Нехай

1) Якщо , , то

 

.

 

2) Якщо , , то

 

.

 

5.2. Інтегрування тригонометричних функцій

 

Розглянемо інтеграл виду

 

. (5.1)

 

Зауважимо, що підинтегральну функцію, яка раціонально залежить від будь-яких тригонометричних функцій, завжди можна вважати , оскільки всі тригонометричні функції раціонально виражаються через і :

 

, , , . (5.2)

 

І. Універсальна тригонометрична підстановка

 

Інтеграли виду (5.1) завжди зводяться до інтегралів від раціональних функцій (раціоналізуються) за допомогою універ­сальної тригонометричної підстановки

 

. (5.3)

 

За відомими тригонометричними формулами

 

; . (5.4)

 

З (5.3) випливає

 

, звідки . (5.5)

 

Тому

 

,

 

де – раціональна функція від .

За допомогою універсальної тригонометричної підстановки особливо зручно обчислювати інтеграли виду

 

.

 

Приклад 5.3. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ; 3) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

.

2)

 

.

 

3)

 

.

 

Розклад підинтегральної функції на елементарні дроби має вигляд (4.12):

 

.

 

Тому

 

.

.

 

Невідомі коефіцієнти здайдемо за комбінованим методом (п. 4.2.3)

 

.

 

Тому

 

 

 

 

.

 

Повертаючись до змінної х, маємо

 

.

 

Звертаємо увагу, що підстановка зветься універсальною, оскільки вона завжди раціоналізує інтеграл (5.1). Однак вона часто приводить до надто громіздких обчислень. Тому корисно знати також інші прийоми інтегрування, застосування яких до інтегралів певного виду є ефективним.

 

ІІ. Інтеграли виду

, , (5.6)

 

Для знаходження інтегралів (5.6) рекомендуються наступні заміни

 

: заміна ;

 

: заміна ;

 

: заміна .

 

Приклад 5.4. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ; 3) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

.

 

2)

 

 

.

 

3)

 

 

.

 

Зокрема, при обчисленні інтегралів виду

 

(5.7)

( – натуральне число)

 

доцільно застосувати формули

 

, звідки ; (5.8)

 

, звідки . (5.9)

 

Формули (5.8) та (5.9) дозволяють послідовно знизити степінь тангенса або котангенса.

 

Приклад 5.5. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

 

.

 

2)

 

 

 

.

 

ІІІ. Інтеграли виду

(5.10)

 

у випадках

 

ІІІ.1. (5.11)

 

ІІІ.2. (5.12)

 

ІІІ.3. (5.13)

 

 

ІІІ.1. , де .

 

Підинтегральна функція змінює знак при заміні на (тобто є непарною відносно ).

 

Рекомендована заміна: . Зокрема, це відноситься до інтегралів виду

 

, ( – цілі числа, ).

 

Приклад 5.6. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ; 3) .

 

Розв’язання.

1) Підинтегральна функція містить у непарному степені (тобто є непарною відносно ), тому застосуємо заміну , звідки .





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...