Главная Обратная связь

Дисциплины:






Метод окремих значень аргументу. 6 страница



Зручно спочатку перетворити підинтегральний вираз так, щоб виділити і диференціал нової змінної .

 

 

.

 

2) Підинтегральна функція є непарною відносно .

 

.

 

 

 

.

 

3)

 

.

 

Розклад підинтегральної функції на елементарні дроби має вигляд:

 

.

 

.

 

звідки .

 

звідки .

 

; ;

 

; ; .

 

Отже,

 

.

 

 

 

.

 

Тому

 

 

ІІІ.2. , де .

 

Підинтегральна функція змінює знак при заміні на (тобто є непарною відносно ).

Рекомендована заміна: . Зокрема, це відноситься до інтегралів виду

 

, де ( – цілі числа ).

 

Приклад 5.7. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.

 

1. Підинтегральна функція є непарною відносно .

 

 

.

 

2)

 

 

.

 

 

ІІІ.3. , де .

 

Підинтегральна функція не змінюється при заміні знаків у і одночасно (тобто є парною відносно і одночасно).

Рекомендована заміна: . Зокрема, це відноситься до інтегралів виду

 

і , де ( – ціле).

 

Зауважимо, що умова означає: степені чисельника і знаменника є одночасно парними або непарними числами. Для інтегралів

 

 

більш ефективною є підстановка

 

.

 

Для підстановки з тригонометричних формул

 

 

випливає, що .

 

Аналогічно для підстановки

 

.

 

Отже, справедливо

 

(5.14)

 

(5.15)

 

Приклад 5.8. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1) Підинтегральна функція є парною відносно і одночасно:

.

 

Застосуємо підстановку .

 

 

.

 

2) Підинтегральна функція є парною відносно і одночасно

 

.

 

Застосуємо підстановку .

 

 

 

.

 

3) Підинтегральна функція є парною відносно і одночасно. Застосуємо підстановку .

 

 

.

 

4) Підинтегральна функція не змінюється з одночасної заміни на та на . Застосуємо підстановку (5.14).

 

;

 

;

 

Отже,

 

 

.

 

У випадку – парне число для інтегралів виду застосовують заміну (5.14), а для інтегралів виду застосовують заміну (5.15).

 

Приклад 5.9. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.



 

 

.

 

2)

 

.

 

 

IV Інтеграли виду

(5.16)

 

де – цілі невід’ємні числа.

Підинтегральна функція має вигляд добутку парних невід’ємних степенів синуса і косинуса. В цьому випадку застосовують формули зниження степеня:

 

, (5.17)

 

, (5.18)

 

(5.19)

 

Приклад 5.10. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ; 3) .

 

Розв’язання.

 

1)

 

 

.

2) Використовуючи тригонометричні формули зниження степеня (5.17) – (5.19), будемо послідовно зводити заданий інтеграл до табличного.

 

 

 

 

.

 

3)

 

 

 

 

 

.

 

 

V. Інтеграли виду

, ,

де m і n – дійсні числа

 

Для обчислення інтегралів даного виду використовуються тригонометричні формули:

 

, (5.20)

 

, (5.21)

 

(5.21)

 

Приклад 5.11. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.

1) .

За формулою (5.20)

 

2) Розглянемо .

Підинтегральний вираз перетворюється наступним чином:

 

За формулою (5.20)

 

.

За формулою (5.22)

 

Тому

 

 

.

5.3. Інтеграл виду

 

Даний інтеграл раціоналізується заміною . Дійсно

 

,

 

де – раціональна функція від .

 

Приклад 5.12. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) .

 

Розв’язання.

 

1) ;

 

 

.

 

2) .

 

.

 

.

 

 

Таким чином,

 

.

 

Отже,

 

 

 

 

.


6. ІНТЕГРУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

 

Розглянемо інтеграли від деяких простіших ірраціональних функцій, які за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій.

 

Інтеграли виду

, (6.1)

 

де – натуральні числа;

– раціональна функція аргументів .

Такі інтеграли раціоналізуються підстановкою

 

, (6.2)

 

де – найменше спільне кратне знаменників дробів

 

.

 

Дійсно,

 

 

,

 

де – раціональна функція від (оскільки – цілі числа).

Приклад 6.1. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

Розв’язання.

 

1) Найменшим спільним кратним знаменників дробів і є 6:

 

НСК(2,3) = 6. Тому застосуємо підстановку .

 

 

 

.

 

2) Представимо даний інтеграл у вигляді:

 

.

 

Найменшим спільним кратним знаменників дробів і є 4. Тому застосуємо підстановку .

 

.

 

Виділимо цілу частину

 

 

.

 

3)

 

.

 

Запишемо розклад підинтегральної функції на елементарні дроби:

 

.

 

.

 

 

Таким чином,

 

.

 

Повернемося до змінної ( ):

 

 

.

 

4) .

 

Одержано інтеграл від неправильного раціонального дробу. Виділяючи цілу частину, маємо

 

.

 

Для знаходження останнього інтегралу запишемо розклад підинтегральної функції на елементарні дроби:

 

,

 

звідки

 

.

 

 

Маємо,

 

.

 

Повертаючись до змінної ( ), одержимо кінцевий результат:

 

.

 

Інтеграли виду

(6.3)

де – натуральні числа;

– раціональна функція своїх аргументів.

 

Такі інтеграли раціоналізуються підстановкою

 

, (6.4)

де – найменше спільне кратне знаменників дробів :

 

.

 

Приклад 6.2. Знайти інтеграли

 

1) ; 2) ; 3) .

 

Розв’язання.

 

1) Введемо підстановку .

Виразимо через :

 

;

;

.

.

.

 

Тому

 

.

 

2) Застосуємо підстановку

 

,

 

звідки ; .

 

.

 

.

 

Отже,

 

 

.

 

3) Застосуємо підстановку

 

,

 

звідки , . Тому

 

.

 

Представимо підинтегральну функцію у вигляді

 

.

 

Після почленного ділення чисельника дробу на знаменник одержуємо

 

 

, де .





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...