Главная Обратная связь

Дисциплины:






Вычисления определённого интеграла



Определённый интеграл

  1. Интегрирование подстановкой (заменой переменной).

Теорема 1.1.Пусть вычисляется интеграл от непрерывной функции f(x) на промежутке [a, b] и сделана подстановка x = j(t), где j(t) – новая функция, непрерывная вместе с производной на промежутке tÎ[α, β], причём j(α)=а, j(β)=b. Тогда (1,1).

Формула (1.1) и называется формулой замены переменной в определённом интеграле.

Примечания: 1) в отличие от вычисления неопределённого интеграла этим методом, при его применении к определённому интегралу возвращаться к исходной переменной не нужно; 2) при переходе ко второму интегралу в равенстве (1.1) не забудьте поменять пределы интегрирования; 3) нередко вместо подстановки x = j(t) применяют подстановку t = g(x).

Пример 1.1.Вычислить Решение. Подынтегральная функция непрерывна на интервале интегрирования и содержит квадратичную иррациональность из разности квадратов. Это подсказывает выбор новой переменной: , тогда 0£sint£1 и 0£t£π/2, и в этом промежутке имеем: . Тогда dx = 2costdt, и переходим к новой переменной: Далее находим интеграл от алгебраической суммы и к каждому слагаемому применяем формулу Ньютона-Лейбница. Получаем:

  1. Интегрирование по частям

Теорема 1.2. Если функции u = u(x), v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке[a, b], то имеет место формула: (1.2).

Пример 1.2. Найти Решение. Условия теоремы выполняются, применим (1.2):

Задания. Из главы V пособия Запорожец Г.И. §1 самостоятельно и подробно рассмотреть решения заданий №№ 582, 591 все, разобранные в пособии. Самостоятельно решить задания №№ 584, 586; 588 (применить формулу представления произведения косинусов суммой); №№ 593, 595, 597.

  1. Интегрирование чётных и нечётных функций

Если подынтегральная функция задана на симметричном относительно начала координат промежутке [-a, а] (а >0) и является чётной (или нечётной), то разбивают этот промежуток на два [-a, 0] и [0, а] и находят интеграл на каждом из отрезков. В результате, воспользовавшись свойством аддитивности определённого интеграла, получаем: и окончательно а) для чётной функции: и б) для нечётной: .

Задание: придумайте или найдите примеры не менее 4-х соответствующих функций и, убедившись в применимости полученных выводов, вычислите интегралы от этих функций.

  1. Несобственный интеграл на бесконечном промежутке(1-го рода)

Определение. Определённый интеграл называется несобственным первого рода, если а) a или b – бесконечности и б) функция f(x) непрерывна на этом промежутке. Тогда принимается одно из обозначений: или и по определению вычисляют:



или . Если же указанные пределы не существуют или они бесконечны, то говорят, что соответствующие интегралы расходятся.

Примеры: 1.3. .

1.4.. - интеграл расходится, так как не существуетпоследнего предела; 1.5. , интеграл расходится.

Для установления сходимости или расходимости несобственных интегралов 1-го рода достаточно воспользоваться следующими признаками сходимости.

Признаки сравнения: 1. Если на промежутке [a, +µ) функции f(x) и g(x) непрерывны и удовлетворяют условию f(x)£ g(x), то из сходимости интеграла следует сходимость , а из расходимости этого второго интеграла следует расходимость первого.

2. Если существует и значения функций положительны, то интегралы и оба сходятся или расходятся одновременно.

Примеры: 1.6.Сходится ли интеграл: Решение. Так как х≥1, то 1 + 3х ≥ 4 > 1. Тогда . Но интеграл (пример 1.3), следовательно, по признаку сравнения 1, будет сходиться и искомый интеграл, причём к числу, меньшему 1 (почему?).

1.7. Исследовать сходимость интеграла . Решение. Попробуем применить признак сравнения 2. Но с какой функцией сравнивать? – Для ответа преобразуем подынтегральную функцию: . Нетрудно понять, что сравнивать надо с уже знакомой функцией: . Ответ: искомый интеграл сходится.

 

 

  1. Несобственный интеграл от разрывной функции(2-го рода)

Определение. Определённый интеграл называется несобственным второго рода, если функция f(x) непрерывна на всём промежутке [a, b), но в точке b терпит левосторонний бесконечный разрыв. (Напоминание: f(x) терпит левосторонний бесконечный разрыв, если ). Тогда по определению вычисляют: , если предел в правой части существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл 2-го рода сходится. В противном случае его называют расходящимся интегралом.

Признаки сходимости интеграла 2-го рода аналогичны признакам сравнения для сходимости интеграла 1-го рода. Существенное отличие состоит в том, что обе функции рассматриваются на открытом справа промежутке [a, b), и для интегралов находятся левосторонние пределы при ε стремящемся к 0.

Примечание. Аналогично определяется несобственный интеграл , если f(x) терпит разрыв (слева) в точке а. Тогда естественно находят предел .

Примеры: 1.8.Вычислить : Решение. . Ответ: интеграл расходится.

1.9.Исследовать на сходимость интеграл: . Решение. На промежутке (0,1], открытом слева, подынтегральная функция терпит разрыв в единственной точке х = 0. Естественно воспользоваться для сравнения функцией 1/х. Тогда: . А так как , то и интеграл также расходится.

Задание. Из §10 главы V пособия Запорожец Г.И. самостоятельно и подробно рассмотреть решения заданий №№ 689, 690 все, разобранные в пособии.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...