Реконструкція образу. Метод прямої та зворотної проекцій

Лабораторна робота №3

Мета роботи

Ознайомитися з основними методами реконструкції образів в рентгенівській томографії.

Короткі теоретичні відомості

Теоретичними основами методів реконструкції образу в рентгенівській томографії є перетворення Радона, яке обґрунтовує взаємно-однозначну відповідність між картиною розподілення коефіцієнтів послаблення рентгенівського випромінювання і континуумом прямих проекцій цього розподілення.

Застосування перетворення Радона в аналітичному вигляді, в загальному випадку, зустрічає настільки великі математичні складності, що на практиці ніколи не використовується.

На практиці використовують дискретні наближення цього перетворення (обмежена дискретна кількість прямих проекцій, кожна з яких утворюється за значеннями на дискретній множині детекторів).

Ці практичні методи реконструкції образу утворюють групу з трьох методів:

1. метод прямої – зворотної проекції;

2. метод прямої – фільтрованої зворотної проекції;

3. метод реконструкції в області перетворення Фур'є.

Метод прямої – зворотної проекції

Пряма проекція

Для пояснення суті методу розглянемо спочатку процедуру отримання прямої проекції (рис.1).

положення системи 1 та положення 2

положення і

Рис.1

Нехай нерівномірність томографічного розтину задана питомим послабленням інтенсивності РТГ променя , віднесеним до одиниці площі, представляє собою квадрат (рис.1). Для простоти ілюстрації вважатимемо, що питоме послаблення .

Тоді при покроковому русі системи РТГ трубка – детектор отримаємо пряму проекцію сумарного послаблення інтенсивності РТГ променя . При оберті системи трубка – детектор на аналогічним чином отримаємо проекцію на вісь х₂., при оберті на певний кут отримаємо проекцію . На практиці таких проекцій (при певному кроці оберту системи трубка – детектор) знімають декілька десятків, що забезпечує задовільну роздільну здатність реконструйованого образу.

Зворотна проекція

Для пояснення методу зворотної проекції розглянемо фантом рис.2.

Рис.2

Для отримання реконструйованого образу потрібно на пустий фантом спроеціювати проекції, отримані методом прямої проекції. На рис.2 зображено дві проекції , , які було отримано на рис.1.

Ці проекції переносяться на пустий фантом. В місцях накладання різних проекцій значення додаються. На рис.2 вже з двох проекцій отримаємо образ квадрата (рис.1) з сумарним коефіцієнтом послаблення . При великій кількості зворотних проекцій контраст отриманого квадрата (відносно «хвостів» з коефіцієнтами А) збільшується.

Зіркоподібний артефакт

Метод прямої – зворотної проекції зустрічає труднощі при отриманні реконструйованого образу, коли коефіцієнти послаблення для різних графоелементів шуканого образу дуже сильно розрізняються. Так, на рис.3 зображено два графоелементи. Квадрат, для якого на проекціях дорівнює 2 та круг невеликого радіусу, але зі значенням на проекції, що дорівнює 100.

Рис.3

В цьому разі зворотна проекція від двох проекцій , має вигляд рис.4.

Рис.4

З рис.4 видно, що навіть при 50 зворотних проекціях «великий» квадрат буде мати коефіцієнт послаблення («рівень сірого»), що дорівнює 100, в той час як кожен «хвіст» для елемента (при одній проекції) має таке саме значення.

Тобто, враховуючи обмежений динамічний діапазон зображення та нормування результатів накладання зворотних проекцій (при яких хвости з не повинні бути помітними на реконструйованому образі) маленький графоелемент з рівнем «сірого» 100 на проекції при зворотній проекції «засвітлює» екран (фантом). На результуючому фантомі відобразиться тільки цей елемент, в той час як квадрата не буде видно. Це відповідає засліпленню ока, викликаному поглядом на сонце, коли око крім сонця нічого вже не бачить. Тому цей артефакт (перешкоду штучного походження, зумовлену обраним методом реконструкції і відображення) називають «зіркоподібним».

Відсторонення в образі зіркоподібного артефакту. RAMP фільтрація

Для боротьби з зіркоподібним артефактом використовують попередню фільтрацію кожної проекції фільтром, який має коефіцієнт передачі рис.5а (RAMP фільтр).

а б

Рис.5

Імпульсна характеристика такого фільтру представлена на рис.5б.

Виходячи з визначення імпульсної характеристики, видно, що дуже велике значення на вході фільтра дасть 1 на його виході. Крім того, наявність від'ємних хвиль за першим елементом (рис.5б) частково компенсує «хвости» зворотної проекції для інших проекцій центрального сегмента.

На практиці використовують наближення імпульсної характеристики у вигляді трьох дискретних відліків [-1, 3, -1], що достатньо добре зменшує дуже високі викиди на проекції .

В сучасній РТГ томографії метод прямої – фільтрованої зворотної проекції є основним методом реконструкції зображень.

Метод реконструкції в області перетворення Фур'є

Для реконструкції в області перетворення Фур'є використовується зв’язок між двовимірним спектром картини розподілення в томографічному розтині і одновимірними спектрами проекцій.

Так, якщо знайти перетворення Фур'є усіх проекцій і розмістити їх під тими самими кутами до базової осі координат (на площині перетворення Фур'є), що й проекції відносно базової осі в натуральних координатах, то отримаємо (з точністю до константи) двовимірне перетворення Фур'є томографічного розтину (рис.6).

a

→

б в

вздовж цих осей розташовані комплексні спектри проекцій

Рис.6

Тобто розтин спектра фантому вздовж осі з точністю до константи співпадає зі спектром проекції .

Таким чином, зворотне перетворення Фур'є від фантома, утвореного одновимірними перетвореннями Фур'є від проекцій (рис.6в) з точністю до константи співпадає з картиною розподілу на рис.6а.

Цей метод також останнім часом (разом з методом прямої – фільтрованої зворотної проекції) використовують в деяких сучасних томографах.

Виконання лабораторної роботи

1. Ознайомлення з методом прямої – зворотної проекції, фільтрованої зворотної проекції, реконструкцією з використанням перетворення Фур'є.

На круглому фантомі задати дві неоднорідності з однаковим рівнем «сірого»(у вигляді кругів) середнього розміру відносно великого радіуса:

Рівень «сірого» неоднорідностей	Кількість проекцій	Кут між проекціями	Кількість детекторів
200			8;16;32;128
50
10
200
50
10
200
50
10

Виконати реконструкцію декількома методами – методом прямої – зворотної проекції, фільтрованої зворотної проекції, двовимірної реконструкції за Фур'є з різною кількістю проекцій, різними значеннями кутів між ними та різною кількістю детекторів.

Метод фільтрованої зворотної проекції провести з використанням RAMP–фільтра з імпульсною характеристикою [-1; 3;-1] (номер нульового відліку =2).

В протоколі представити образи та реконструйовані всіма зазначеними методами зображення з різною кількістю детекторів, проекцій та різними значеннями кутів між проекціями. Порівняти отримані результати і зробити висновки, представлені у вигляді таблиці.

2. Оцінка впливу зіркоподібного артефакту.

Для оцінки впливу зіркоподібного артефакту задати на фантомі дві неоднорідності великого радіусу малої інтенсивності (в центрі фантому з R=30) та неоднорідність малого радіусу великої інтенсивності (внизу фантому з R=5):

Рівень «сірого» неоднорідностей	Кількість проекцій	Кут між проекціями	Кількість детекторів
200, 10			16;32;64;128

Виконати реконструкцію методом прямої – зворотної проекції та фільтрованої зворотної проекції.

2.1. Метод фільтрованої зворотної проекції провести з використанням RAMP–фільтра з імпульсною характеристикою [-1; 3;-1] (номер нульового відліку =2).

2.2. Метод фільтрованої зворотної проекції провести з використанням RAMP–фільтра з імпульсною характеристикою [0;-1;-2;7;-2;-1;0] (номер нульового відліку =4).

Відобразити, порівняти отримані результати для методу прямої – зворотної проекції та методу фільтрованої зворотної проекції для RAMP – фільтрів з різною імпульсною характеристикою (на 3 та 7 відліків), зробити висновки.

Контрольні запитання до лабораторної роботи №3

1. Поясніть процедуру отримання проекції в РТГ томографії.

2. В чому полягає суть методу зворотної проекції.

3. В чому полягає суть зіркоподібного артефакту.

4. Поясніть, яким чином RAMP фільтр (наведіть його коефіцієнт передачі та імпульсну характеристику) сприяє ліквідації зіркоподібного артефакту.

5. Поясніть, чому задачі РТГ томографії відносять до погано зумовлених математичних задач.

6. Поясніть, яким чином і на основі якої властивості виконують реконструкцію в області перетворення Фур'є.