Главная Обратная связь

Дисциплины:






Глава 1. Постановка задач математической физики



Г.Н. Андреев

 

 

Численные методы

решения задач математической физики

учебное пособие

 

МОСКВА 2009


Автор Андреев Геннадий Николаевич

 

 

Рецензенты:

Остапенко Николай Андреевич, д. ф.- м. н., проф.,

зам. директора Института механики МГУ

 

Берков Николай Андреевич, к. т. н.,

доцент кафедры 31 МГИУ

 

Рекомендация к изданию кафедры 31 МГИУ,

протокол № 3 заседания кафедры от 22.10.2008 г.

 

 

В учебном пособии рассмотрены вопросы построения разностных схем, аппроксимирующих задачу математической физики, и методы исследования счетной устойчивости. Приводятся методы решения двухмерных задач, основанные на принципе покомпонентного расщепления. Приложение содержит задания для лабораторных работ по исследованию свойств разностных схем. Пособие соответствует государственному образовательному стандарту.

Для студентов и аспирантов технических университетов, специализирующихся в области теплотехники, прикладной механики и прикладной математики.

 


 

Оглавление

Предисловие. 4

Введение. 5

Глава 1. Постановка задач математической физики. 8

§1. Некоторые сведения из теории уравнений в частных производных. 8

§2. Задачи математической физики. 9

§3. Основные понятия метода сеток. 12

§4. Задача математической физики в пространстве сеточных функций. 15

Глава 2. Аппроксимация дифференциальной задачи разностной. 17

§1. Порядок аппроксимации. 17

§2. Погрешность численного дифференцирования. 18

§3. Аппроксимация граничных условий. 22

§4. Аппроксимация нестационарной задачи. 27

§5. Явные и неявные разностные схемы.. 30

§6. Построение разностной схемы и определение порядка аппроксимации. 34

Глава 3. Счетная устойчивость и сходимость. 44

§1. Устойчивость разностных схем.. 44

§2. Сходимость решения разностной задачи. 45

§3. Условие Куранта – Фридрихса – Леви. 46

§4. Принцип замороженных коэффициентов. Критерий Гельфанда – Бабенко. 51

§5. Исследование устойчивости разностных схем задачи переноса. 55

§6. Исследование устойчивости разностных схем задачи теплопроводности. 60

§7. Исследование устойчивости разностных схем волновой задачи. 61

§8. Исследование устойчивости разностных схем с граничными условиями. 62

§9. Исследование граничных условий задачи теплопроводности. 65

§10. Исследование граничных условий волновой задачи. 67

§11. Исследование граничных условий задачи переноса. 69

Глава 4. Достаточные условия устойчивости. 72

§1. Условие устойчивости. 72

§2. Принцип максимума. 73

§3. Оценки норм матриц. 76

§4. Спектральный критерий устойчивости Неймана. 85



§5. Исследование устойчивости квазилинейных задач. 93

Глава 5. Численное решение двумерных задач математической физики. 97

§1. Редукция двумерной задачи. 97

§2. Метод стабилизации. 101

§3. Метод предиктор – корректор. 102

§4. Метод покомпонентного расщепления. 104

§5. Покомпонентное расщепление задач гиперболического типа. 106

Заключение. 109

Приложение. Постановка задач математической физики. 111

Лабораторные работы.. 132

Лабораторная работа №1. Исследование разностных схем задачи переноса. 132

Лабораторная работа №2. Исследование разностных схем задачи теплопереноса. 140

Лабораторная работа №3. Исследование разностных схем волновой задачи. 144

Задания к лабораторным работам.. 148

Библиографический список. 160

Предметный указатель. 161

 


Предисловие

 

Книга является учебным пособием по курсу «Численные методы решения задач математической физики». В ее основе лежит курс лекций, неоднократно прочитанных автором на факультете прикладной математики и технической физики Московского государственного индустриального университета.

Курс «Численные методы решения задач математической физики» читается в седьмом семестре в объеме 36 учебных часов и является продолжением курса «Вычислительная математика» четвертого семестра. В учебном пособии рассматриваются вопросы построения разностных схем, аппроксимации, устойчивости и сходимости. Представлены основные признаки, позволяющие исследовать устойчивость. Для двумерных нестационарных задач приведены методы решения, основанные на принципе расщепления.

В учебное пособие включено описание лабораторных работ, включающих исследование явных и неявных разностных схем для каждой из одномерных задач переноса, теплопроводности и волновой задачи.

От читателя требуется знание основ линейной алгебры, математического анализа, теории уравнений в частных производных, вычислительной математики.


Введение

 

Современные электронные вычислительные машины являются эффективным средством моделирования сложных задач науки и техники. Количественные методы исследования проникают во все сферы человеческой деятельности и становятся средством познания. Стремление создать детальную картину исследуемых процессов приводит к построению все более сложных математических моделей, требующих универсального математического аппарата.

Конечно – разностный метод сводит задачу математической физики к системе алгебраических уравнений и их последующему решению. При построении системы алгебраических уравнений, соответствующих задаче с непрерывно меняющимися аргументами, существенно используется априорная информация об исходной задаче. Такой информацией является принадлежность решения к классу функций, обладающих определенными свойствами гладкости, свойства входных данных, свойства операторов задачи. Как правило, должно иметь место соответствие между априорными требованиями для исходной задачи и свойствами ее разностного аналога. Особенно это относится к оператору задачи, свойства которого должны быть сохранены при переходе от непрерывных аргументов к дискретным. Преемственность свойств оператора задачи позволяет при исследовании эффективности алгоритма опираться на хорошо разработанные методы функционального анализа.

Учебное пособие состоит из пяти глав и приложения. В первой главе приведена постановка основных задач математической физики. Введены основные понятия метода сеток. Стационарная задача математической физики интерпретирована в пространстве сеточных функций.

Во второй главе рассмотрены вопросы аппроксимации дифференциальной задачи математической физики разностной задачей. Введены разностные аналоги производных и получены оценки погрешностей численного дифференцирования при определенных допущениях о гладкости решения. Определен порядок аппроксимации. Рассмотрена аппроксимация нестационарной задачи. Для одномерных задач приведены примеры построения явных и неявных разностных схем и определения порядка аппроксимации.

В третьей главе вводится понятия счетной устойчивости разностной схемы и сходимости решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи. Установлена связь устойчивости и сходимости для однородной линейной задачи. Приведены необходимые признаки счетной устойчивости. Условие Куранта – Фридрихса – Леви гарантирует соблюдение областей зависимости решения при редукции задачи от непрерывных аргументов к дискретным. Поэтому как для линейных, так и для нелинейных задач условие КФЛ является необходимым признаком устойчивости.

Принцип замороженных коэффициентов позволяет сформулировать необходимый критерий устойчивости Гельфанда – Бабенко, который во внутренних узлах разностной сетки приводится к условию Неймана. Приведены примеры исследования устойчивости разностных схем по условию КФЛ и критерию Гельфанда – Бабенко.

В четвертой главе излагаются достаточные признаки устойчивости: принцип максимума и спектральный критерий Неймана. Лемма Келлога позволяет расширить область применения принципа максимума на класс задач математической физики, имеющих, положительно полуопределенный оператор. Спектральный критерий Неймана эффективен для гиперболических задач с положительно определенным оператором. Приводятся условия положительной определенности (полуопределенности) оператора разностной схемы, аппроксимирующей задачу математической физики. Получены условия применимости принципа максимума и спектрального критерия Неймана к квазилинейным задачам.

В пятой главе излагаются методы решения двумерных задач математической физики. Если разностный оператор двумерной эволюционной задачи является суммой двух неотрицательных операторов, возможно задачу математической физики свести к последовательному решению более простых задач, эффективно решаемых с помощью ЭВМ. Рассмотрены три метода решения двумерной задачи параболического типа: метод стабилизации, метод предиктор – корректор и метод покомпонентного расщепления. Последний из указанных методов применен к решению задачи гиперболического типа.

В приложении приводятся постановки задач математической физики с выводом дифференциальных уравнений на основе балансовых соотношений.

В учебном пособии представлены описания лабораторных работ по исследованию свойств разностных схем задач переноса, теплопроводности и волновой задачи с вариантами индивидуальных заданий и программами реализации.


Глава 1. Постановка задач математической физики

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...