Главная Обратная связь

Дисциплины:






Некоторые сведения из теории уравнений в частных производных



Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то при постановке многих задач появляются уравнения, связывающие независимые переменные x1,…, xn, функцию u(x1,…, xn) и ее частные производные , .

Уравнение в частных производных в общем случае имеет вид

F(x1,…, xn, u, ,…) = f(x1,…, xn).

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения.

Если функция F линейна относительно u и ее производных, то уравнение называется линейным уравнением в частных производных. Линейное уравнение называется однородным, если f(x1,…, xn) = 0, и неоднородным в противном случае.

Например, линейное уравнение второго порядка в случае двух независимых переменных имеет вид

+

+ ,

причем коэффициенты A, B, C не обращаются в нуль одновременно.

Если функция F линейна по высшим производным, а коэффициенты при высших производных зависят от функции u и ее производных более низкого порядка, то уравнение называется квазилинейным. При двух независимых переменных квазилинейное уравнение второго порядка имеет вид

.

При AC – B2= 0 уравнение (линейное или квазилинейное) называется параболическим, при AC – B2< 0 – гиперболическим, а при AC – B2> 0 – эллиптическим.

Функция u(x1,…, xn) называется решением уравнения в частных производных, если она имеет производные требуемого порядка и обращает уравнение в тождество. Решение уравнения в частных производных не единственно. Для выделения единственного решения необходимо задать дополнительные условия. Начальные и граничные условия, появляющиеся при постановке задач математической физики, относятся к условиям подобного типа.

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...