Главная
Обратная связь
Дисциплины:
|
Задачи математической физики
Уравнения математической физики появляются при описании физических процессов. В качестве независимых переменных выступают время t и пространственные переменные. Задачи с одной пространственной переменной называются одномерными, с двумя – двухмерными, с тремя – трехмерными. Будем считать область D изменения пространственных переменных не меняющейся во времени. На границе дD необходимо задать дополнительные условия, называемые граничными. Если уравнение математической физики описывает нестационарный физический процесс, в области D задаются начальные условия.
Задача математической физики называется стационарной, если ее решение не зависит от времени. Стационарная задача не содержит начальных условий, имеет не зависящие от времени граничные условия, причем уравнение и граничные условия не содержат частых производных по времени. Задача с начальными и граничными условиями называется нестационарной или эволюционной. Эволюционная задача в безграничной области D имеет только начальные условия и называется задачей Коши. Количество и тип начальных и граничных условий зависит от порядка уравнения, его типа, количества границ и количества разрывов в граничных условиях.
Приведем примеры постановок стационарных и эволюционных задач. Линейным двумерным уравнением эллиптического типа является уравнение
= f(x, y), a>0, b>0,
| (1.1)
| где (x,y)ÎD. При a = b = 1, c = 0 уравнение (1.1) называется уравнением Пуассона, а при f(x,y) = 0 - уравнением Лапласа.
Поскольку уравнение стационарное, начальные условия не задаются. На границе области могут быть заданы
1) значения искомой функции (условие Дирихле)
u(x,h) = g(x,h), (x,h)ÎдD;
2) значения производной (условие Неймана)
= g(x,h), (x,h)ÎдD;
3) комбинация функции и производной (смешанное условие) + s(x,h)u(x,h) = g(x,h), (x,h)ÎдD.
| (1.2)
| В граничных условиях 2 и 3 участвует производная
(x,h)ÎдD,
| (1.3)
| где cosa, cosb - направляющие косинусы внешней нормали к границе дD. На различных участках границы дD могут быть заданы граничные условия разных типов. Запишем граничное условие (1.2) общей формулой
l(u) = g(x,h), l(u) = g + su, (x,h)ÎдD,
| (1.4)
| полагая g= 0, s = 1 на той части границы, где задано условие Дирихле, g = 1, s = 0 при условии Неймана, g = 1, s ¹ 0 при смешанном условии. Краевая эллиптическая задача будет представлена уравнением (1.1) и граничным условием общего вида (1.4).
Эволюционная линейная двумерная параболическая задача в области D описывается уравнением
= f(x,y,t),
a > 0, b > 0, (x,y) Î D, t > 0
| (1.5)
| с граничным условием
l(u)= g(x,h,t), (x,h)ÎдD, t > 0,
l(u)= .
| (1.6)
| Поскольку в уравнение входит первая производная по t, необходимо задать одно начальное условие
u(x,y,0) = j(x,y), (x,y)ÎD+дD.
| (1.7)
| Если функции a, b, c, s, f и g не зависят от времени, решение краевой параболической задачи (1.5), (1.6), (1.7) при t ® ¥ стремится к решению стационарной эллиптической задачи (1.1), (1.4).
Эволюционная линейная двумерная гиперболическая задача в области D описывается уравнением
= f(x,y,t),
a > 0, b > 0, (x,y) Î D, t > 0
| (1.8)
| с граничным условием (1.6) и двумя начальными условиями
u(x,y,0) = j(x,y),
= y(x,y), (x,y)ÎD+дD.
Эллиптическая, параболическая и гиперболическая задачи называются задачей Дирихле, Неймана или смешанной, если на всей границе дD задано однотипное условие (1.2) соответственно вида 1, 2 или 3.
Уравнения (1.1), (1.5), (1.8) получены в приложении на основе законов сохранения массы, импульса и энергии, присущих физическим процессам.
Одномерная эволюционная задача содержит только одну пространственную переменную x. Область D+дD = [0, l] представляет вещественный отрезок с границей дD={0, l}, состоящей из двух точек. Одномерная линейная нестационарная параболическая задача описывается уравнением
= f(x,t), a > 0, 0 < x < l, t > 0,
которое будем называть уравнением теплопроводности. По аналогии с двумерной задачей граничное условие представим в виде
l(u)= g(x,t), l(u)= g(x) + s(x,t)u(x,t), x Î{0, l},
, ,
| (1.9)
| где g при x =0, l независимо принимает значения 0, 1.
Поскольку в уравнение входит первая производная по t, необходимо задать начальное условие
u(x,0) = j(x), 0£ x £ l.
Одномерная линейная нестационарная гиперболическая задача описывается волновым уравнением
= f(x,t), a > 0, 0 < x < l, t > 0
с граничным условием (1.9). Поскольку в уравнение входит вторая производная по t, необходимо задать два начальных условия
u(x,0) = j(x), 0£ x £ l,
= y(x), 0< x < l.
Простейшей линейной краевой задачей для уравнения первого порядка является задача переноса, задаваемая уравнением
a>0, 0 < x £ l, t > 0
с граничным и начальным условиями соответственно
u(0,t) = g(t), t > 0,
u(x,0) = j(x), 0 £ x £ l.
Положим
L(u)=
| двухмерная задача,
| одномерная задача,
| задача переноса.
|
| В новых обозначениях эллиптическую задачу можно записать в символическом виде
L(u) = f(x,y), (x,y)ÎD,
l(u) = g(x,h), (x,h)ÎдD;
| (1.10)
| нестационарную задачу (двухмерную и одномерную)
+ L(u) = f(x,y,t), (x,y)ÎD, t > 0, (j = 1, 2),
l(u) = g(x,h,t), (x,h)ÎдD, t > 0,
u(x,y,0)= j(x,y),
= y(x,y) при j = 2, (x,y)ÎD;
| (1.11)
| В безграничной области D задача (1.11) не имеет граничных условий и называется задачей Коши. Если функции a, b, c, s зависят еще и от решения u, краевая задача называется квазилинейной. При постоянных значениях a, b, c, s получаем линейную задачу с постоянными коэффициентами.
Основные понятия метода сеток
Эффективным методом численного решения задач математической физики является метод сеток, сводящий решение уравнений в частных производных к решению системы линейных алгебраических уравнений. Получение решения методом сеток осуществляется в три этапа.
· Область непрерывного изменения аргументов заменяется конечным дискретным множеством точек, называемых узлами.Множество узлов называется разностной сеткой.Сетка содержит внутренние и граничные узлы. Значения искомой функции в граничных узлах определяются граничными условиями дифференциальной задачи. Решение ищется во внутренних узлах. Функция дискретных аргументов, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.
· Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия задачи, заменяются по определенным правилам разностными аналогами. В итоге дифференциальная задача заменяется системой алгебраических уравнений, называемых разностными. Количество разностных уравнений определяется числом узлов сетки. Совокупность разностных уравненийназывается разностной задачей или разностной схемой.
· Как правило, получаемая система уравнений имеет весьма разреженную матрицу большого порядка. Осуществляется решение системы разностных уравнений одним из известных методов. Нелинейные системы итерационными процедурами сводятся к линейным системам.
Основные этапы метода сеток поясним на примере стационарной задачи Дирихле для уравнения Пуассона
= -f(x,y)
в прямоугольнике D+дD = [0,l1]´[0,l2]. В задаче Дирихле краевое условие имеет вид
u(x,h) = g(x,h), (x,h)ÎдD.
На первом этапе область D непрерывного изменения аргументов x и y заменяют сеточной областью Dh. Проведем линии
x = m h1, m = 0, …, M и y = n h2, n = 0, …, N.
Постоянные величины
h1 = l1/M, h2 = l2/N, h = max(h1,h2)
называются шагами разностной сетки в направлении x и y. Точки (xm,yn) составляют узлы разностной сетки Dh и обозначаются (m,n). Узлы, лежащие внутри прямоугольника (xm,yn)ÎD, образуют множество внутренних узлов Dh, остальные принадлежат множеству дDh граничных узлов. Любой граничный узел имеет по направлению x или y хотя бы один соседний внутренний узел. На рис. 1 внутренние узлы изображены светлыми, граничные – темными кружочками, граница области – сплошной линией.
Сеточная функция, определенная на сетке Dh, обозначается u(h), ее значениям в узле (m,n) приписываются нижние индексы umn. Для любой функции u(x,y), заданной в области Dh+дDh однозначно определена сеточная функция [u]h со значениями
называемая проекцией u(x,y) на сетку.
Рис. 1
|
Рис. 2
|