Главная Обратная связь

Дисциплины:






Задачи математической физики



Уравнения математической физики появляются при описании физических процессов. В качестве независимых переменных выступают время t и пространственные переменные. Задачи с одной пространственной переменной называются одномерными, с двумя – двухмерными, с тремя – трехмерными. Будем считать область D изменения пространственных переменных не меняющейся во времени. На границе дD необходимо задать дополнительные условия, называемые граничными. Если уравнение математической физики описывает нестационарный физический процесс, в области D задаются начальные условия.

Задача математической физики называется стационарной, если ее решение не зависит от времени. Стационарная задача не содержит начальных условий, имеет не зависящие от времени граничные условия, причем уравнение и граничные условия не содержат частых производных по времени. Задача с начальными и граничными условиями называется нестационарной или эволюционной. Эволюционная задача в безграничной области D имеет только начальные условия и называется задачей Коши. Количество и тип начальных и граничных условий зависит от порядка уравнения, его типа, количества границ и количества разрывов в граничных условиях.

Приведем примеры постановок стационарных и эволюционных задач. Линейным двумерным уравнением эллиптического типа является уравнение

= f(x, y), a>0, b>0, (1.1)

где (x,yD. При a = b = 1, c = 0 уравнение (1.1) называется уравнением Пуассона, а при f(x,y) = 0 - уравнением Лапласа.

Поскольку уравнение стационарное, начальные условия не задаются. На границе области могут быть заданы

1) значения искомой функции (условие Дирихле) u(x,h) = g(x,h), (x,hдD; 2) значения производной (условие Неймана) = g(x,h), (x,hдD; 3) комбинация функции и производной (смешанное условие) + s(x,h)u(x,h) = g(x,h), (x,hдD. (1.2)

В граничных условиях 2 и 3 участвует производная

(x,hдD, (1.3)

где cosa, cosb - направляющие косинусы внешней нормали к границе дD. На различных участках границы дD могут быть заданы граничные условия разных типов. Запишем граничное условие (1.2) общей формулой

l(u) = g(x,h), l(u) = g + su, (x,hдD, (1.4)

полагая g= 0, s = 1 на той части границы, где задано условие Дирихле, g = 1, s = 0 при условии Неймана, g = 1, s ¹ 0 при смешанном условии. Краевая эллиптическая задача будет представлена уравнением (1.1) и граничным условием общего вида (1.4).

Эволюционная линейная двумерная параболическая задача в области D описывается уравнением

= f(x,y,t), a > 0, b > 0, (x,y) Î D, t > 0 (1.5)

с граничным условием



l(u)= g(x,h,t), (x,hдD, t > 0, l(u)= . (1.6)

Поскольку в уравнение входит первая производная по t, необходимо задать одно начальное условие

u(x,y,0) = j(x,y), (x,yD+дD. (1.7)

Если функции a, b, c, s, f и g не зависят от времени, решение краевой параболической задачи (1.5), (1.6), (1.7) при t ® ¥ стремится к решению стационарной эллиптической задачи (1.1), (1.4).

Эволюционная линейная двумерная гиперболическая задача в области D описывается уравнением

= f(x,y,t), a > 0, b > 0, (x,y) Î D, t > 0 (1.8)

с граничным условием (1.6) и двумя начальными условиями

u(x,y,0) = j(x,y),

= y(x,y), (x,yD+дD.

Эллиптическая, параболическая и гиперболическая задачи называются задачей Дирихле, Неймана или смешанной, если на всей границе дD задано однотипное условие (1.2) соответственно вида 1, 2 или 3.

Уравнения (1.1), (1.5), (1.8) получены в приложении на основе законов сохранения массы, импульса и энергии, присущих физическим процессам.

Одномерная эволюционная задача содержит только одну пространственную переменную x. Область D+дD = [0, l] представляет вещественный отрезок с границей дD={0, l}, состоящей из двух точек. Одномерная линейная нестационарная параболическая задача описывается уравнением

= f(x,t), a > 0, 0 < x < l, t > 0,

которое будем называть уравнением теплопроводности. По аналогии с двумерной задачей граничное условие представим в виде

l(u)= g(x,t), l(u)= g(x) + s(x,t)u(x,t), x Î{0, l}, , , (1.9)

где g при x =0, l независимо принимает значения 0, 1.

Поскольку в уравнение входит первая производная по t, необходимо задать начальное условие

u(x,0) = j(x), 0£ x £ l.

Одномерная линейная нестационарная гиперболическая задача описывается волновым уравнением

= f(x,t), a > 0, 0 < x < l, t > 0

с граничным условием (1.9). Поскольку в уравнение входит вторая производная по t, необходимо задать два начальных условия

u(x,0) = j(x), 0£ x £ l,

= y(x), 0< x < l.

Простейшей линейной краевой задачей для уравнения первого порядка является задача переноса, задаваемая уравнением

a>0, 0 < x £ l, t > 0

с граничным и начальным условиями соответственно

u(0,t) = g(t), t > 0,

u(x,0) = j(x), 0 £ x £ l.

Положим

L(u)=
двухмерная задача,
одномерная задача,
задача переноса.

 

В новых обозначениях эллиптическую задачу можно записать в символическом виде

L(u) = f(x,y), (x,yD, l(u) = g(x,h), (x,hдD; (1.10)

нестационарную задачу (двухмерную и одномерную)

+ L(u) = f(x,y,t), (x,yD, t > 0, (j = 1, 2), l(u) = g(x,h,t), (x,hдD, t > 0, u(x,y,0)= j(x,y), = y(x,y) при j = 2, (x,yD; (1.11)

В безграничной области D задача (1.11) не имеет граничных условий и называется задачей Коши. Если функции a, b, c, s зависят еще и от решения u, краевая задача называется квазилинейной. При постоянных значениях a, b, c, s получаем линейную задачу с постоянными коэффициентами.

 

Основные понятия метода сеток

Эффективным методом численного решения задач математической физики является метод сеток, сводящий решение уравнений в частных производных к решению системы линейных алгебраических уравнений. Получение решения методом сеток осуществляется в три этапа.

· Область непрерывного изменения аргументов заменяется конечным дискретным множеством точек, называемых узлами.Множество узлов называется разностной сеткой.Сетка содержит внутренние и граничные узлы. Значения искомой функции в граничных узлах определяются граничными условиями дифференциальной задачи. Решение ищется во внутренних узлах. Функция дискретных аргументов, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

· Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия задачи, заменяются по определенным правилам разностными аналогами. В итоге дифференциальная задача заменяется системой алгебраических уравнений, называемых разностными. Количество разностных уравнений определяется числом узлов сетки. Совокупность разностных уравненийназывается разностной задачей или разностной схемой.

· Как правило, получаемая система уравнений имеет весьма разреженную матрицу большого порядка. Осуществляется решение системы разностных уравнений одним из известных методов. Нелинейные системы итерационными процедурами сводятся к линейным системам.

Основные этапы метода сеток поясним на примере стационарной задачи Дирихле для уравнения Пуассона

= -f(x,y)

в прямоугольнике D+дD = [0,l1]´[0,l2]. В задаче Дирихле краевое условие имеет вид

u(x,h) = g(x,h), (x,hдD.

На первом этапе область D непрерывного изменения аргументов x и y заменяют сеточной областью Dh. Проведем линии

x = m h1, m = 0, …, M и y = n h2, n = 0, …, N.

Постоянные величины

h1 = l1/M, h2 = l2/N, h = max(h1,h2)

называются шагами разностной сетки в направлении x и y. Точки (xm,yn) составляют узлы разностной сетки Dh и обозначаются (m,n). Узлы, лежащие внутри прямоугольника (xm,ynD, образуют множество внутренних узлов Dh, остальные принадлежат множеству дDh граничных узлов. Любой граничный узел имеет по направлению x или y хотя бы один соседний внутренний узел. На рис. 1 внутренние узлы изображены светлыми, граничные – темными кружочками, граница области – сплошной линией.

Сеточная функция, определенная на сетке Dh, обозначается u(h), ее значениям в узле (m,n) приписываются нижние индексы umn. Для любой функции u(x,y), заданной в области Dh+дDh однозначно определена сеточная функция [u]h со значениями

[u]mn = u(xm,yn), (1.12)

называемая проекцией u(x,y) на сетку.

 

 
 

 


Рис. 1

  Рис. 2

Если u(x,y) – решение дифференциальной задачи, то можно записать

[L(u)]h = [f]h (1.13)

в каждом внутреннем узле сетки Dh,

[l(u)]h = [g]h (1.14)

в каждом граничном узле дDh.

Перейдем ко второму этапу и займемся построением разностных аналогов производной сеточной функции. На рис. 2 указаны узлы, отвечающие минимальному приращению одного из аргументов относительно узла (m,n). Зададим разностные аналоги вторых производных и в узле (m,n) формулами соответственно

= , = .

Заменяя во внутренних узлах производные в уравнении (1.13) их разностными аналогами, получим разностные уравнения

= - [f]mn, 1 £ m £ M-1, 1 £ n £ N-1.

Граничные условия (1.14) переносятся на сетку точно и представляются формулой

uxh = gxh, (x,hдDh, (1.15)

(x,h) = {(0, n), (M, n), (m, 0), (m, N) | 1 £ m £ M-1, 1 £ n £ N-1}.

Здесь gxh = g(x h1, h h2).

Систему уравнений можно записать явно

(um-1n + um+1n) + (umn-1 + umn+1) - 2( + )umn = - [f]mn, u0 n = g0 n, uM n = gM n, 1 £ n £ N-1, um 0 = gm 0, um N = gm N, 1 £ m £ M-1. (1.16)

На третьем этапе решаем систему уравнений (1.16). Число уравнений равно числу неизвестных. Матрица системы сильно разрежена. Решение систем уравнений с такими матрицами эффективно находится итерационными методами. Построим итерационный процесс

+

+ .

Здесь верхний индекс, заключенный в скобки, означает номер итерации, w -параметр. При w > 1 итерационный процесс называется методом верхней релаксации. Процесс сходится независимо от начального приближения . На практике желательно выбирать начальное приближение возможно более близкое к точному решению. Вычислительный процесс заканчивается при выполнении условия

£ e,

где e - заданная погрешность определения решения.

При выборе w из диапазона 1,1 ¸ 1,4 число итераций i, необходимых для достижения точности в методе верхней релаксации, пропорционально числу внутренних узлов,

i = 0,7(M-1)(N-1) ln(e-1).

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...