Задачи математической физики

Уравнения математической физики появляются при описании физических процессов. В качестве независимых переменных выступают время t и пространственные переменные. Задачи с одной пространственной переменной называются одномерными, с двумя – двухмерными, с тремя – трехмерными. Будем считать область D изменения пространственных переменных не меняющейся во времени. На границе дD необходимо задать дополнительные условия, называемые граничными. Если уравнение математической физики описывает нестационарный физический процесс, в области D задаются начальные условия.

Задача математической физики называется стационарной, если ее решение не зависит от времени. Стационарная задача не содержит начальных условий, имеет не зависящие от времени граничные условия, причем уравнение и граничные условия не содержат частых производных по времени. Задача с начальными и граничными условиями называется нестационарной или эволюционной. Эволюционная задача в безграничной области D имеет только начальные условия и называется задачей Коши. Количество и тип начальных и граничных условий зависит от порядка уравнения, его типа, количества границ и количества разрывов в граничных условиях.

Приведем примеры постановок стационарных и эволюционных задач. Линейным двумерным уравнением эллиптического типа является уравнение

= f(x, y), a>0, b>0,

(1.1)

где (x,y)ÎD. При a = b = 1, c = 0 уравнение (1.1) называется уравнением Пуассона, а при f(x,y) = 0 - уравнением Лапласа.

Поскольку уравнение стационарное, начальные условия не задаются. На границе области могут быть заданы

1) значения искомой функции (условие Дирихле) u(x,h) = g(x,h), (x,h)ÎдD; 2) значения производной (условие Неймана) = g(x,h), (x,h)ÎдD; 3) комбинация функции и производной (смешанное условие) + s(x,h)u(x,h) = g(x,h), (x,h)ÎдD.

(1.2)

В граничных условиях 2 и 3 участвует производная

(x,h)ÎдD,

(1.3)

где cosa, cosb - направляющие косинусы внешней нормали к границе дD. На различных участках границы дD могут быть заданы граничные условия разных типов. Запишем граничное условие (1.2) общей формулой

l(u) = g(x,h), l(u) = g + su, (x,h)ÎдD,

(1.4)

полагая g= 0, s = 1 на той части границы, где задано условие Дирихле, g = 1, s = 0 при условии Неймана, g = 1, s ¹ 0 при смешанном условии. Краевая эллиптическая задача будет представлена уравнением (1.1) и граничным условием общего вида (1.4).

Эволюционная линейная двумерная параболическая задача в области D описывается уравнением

= f(x,y,t), a > 0, b > 0, (x,y) Î D, t > 0

(1.5)

с граничным условием

l(u)= g(x,h,t), (x,h)ÎдD, t > 0, l(u)= .

(1.6)

Поскольку в уравнение входит первая производная по t, необходимо задать одно начальное условие

Если функции a, b, c, s, f и g не зависят от времени, решение краевой параболической задачи (1.5), (1.6), (1.7) при t ® ¥ стремится к решению стационарной эллиптической задачи (1.1), (1.4).

Эволюционная линейная двумерная гиперболическая задача в области D описывается уравнением

= f(x,y,t), a > 0, b > 0, (x,y) Î D, t > 0

(1.8)

с граничным условием (1.6) и двумя начальными условиями

u(x,y,0) = j(x,y),

= y(x,y), (x,y)ÎD+дD.

Эллиптическая, параболическая и гиперболическая задачи называются задачей Дирихле, Неймана или смешанной, если на всей границе дD задано однотипное условие (1.2) соответственно вида 1, 2 или 3.

Уравнения (1.1), (1.5), (1.8) получены в приложении на основе законов сохранения массы, импульса и энергии, присущих физическим процессам.

Одномерная эволюционная задача содержит только одну пространственную переменную x. Область D+дD = [0, l] представляет вещественный отрезок с границей дD={0, l}, состоящей из двух точек. Одномерная линейная нестационарная параболическая задача описывается уравнением

= f(x,t), a > 0, 0 < x < l, t > 0,

которое будем называть уравнением теплопроводности. По аналогии с двумерной задачей граничное условие представим в виде

l(u)= g(x,t), l(u)= g(x) + s(x,t)u(x,t), x Î{0, l}, , ,

(1.9)

где g при x =0, l независимо принимает значения 0, 1.

Поскольку в уравнение входит первая производная по t, необходимо задать начальное условие

u(x,0) = j(x), 0£ x £ l.

Одномерная линейная нестационарная гиперболическая задача описывается волновым уравнением

= f(x,t), a > 0, 0 < x < l, t > 0

с граничным условием (1.9). Поскольку в уравнение входит вторая производная по t, необходимо задать два начальных условия

u(x,0) = j(x), 0£ x £ l,

= y(x), 0< x < l.

Простейшей линейной краевой задачей для уравнения первого порядка является задача переноса, задаваемая уравнением

a>0, 0 < x £ l, t > 0

с граничным и начальным условиями соответственно

u(0,t) = g(t), t > 0,

u(x,0) = j(x), 0 £ x £ l.

Положим

L(u)=

двухмерная задача, одномерная задача, задача переноса.

В новых обозначениях эллиптическую задачу можно записать в символическом виде

нестационарную задачу (двухмерную и одномерную)

+ L(u) = f(x,y,t), (x,y)ÎD, t > 0, (j = 1, 2), l(u) = g(x,h,t), (x,h)ÎдD, t > 0, u(x,y,0)= j(x,y), = y(x,y) при j = 2, (x,y)ÎD;

(1.11)

В безграничной области D задача (1.11) не имеет граничных условий и называется задачей Коши. Если функции a, b, c, s зависят еще и от решения u, краевая задача называется квазилинейной. При постоянных значениях a, b, c, s получаем линейную задачу с постоянными коэффициентами.

Основные понятия метода сеток

Эффективным методом численного решения задач математической физики является метод сеток, сводящий решение уравнений в частных производных к решению системы линейных алгебраических уравнений. Получение решения методом сеток осуществляется в три этапа.

· Область непрерывного изменения аргументов заменяется конечным дискретным множеством точек, называемых узлами.Множество узлов называется разностной сеткой.Сетка содержит внутренние и граничные узлы. Значения искомой функции в граничных узлах определяются граничными условиями дифференциальной задачи. Решение ищется во внутренних узлах. Функция дискретных аргументов, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

· Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия задачи, заменяются по определенным правилам разностными аналогами. В итоге дифференциальная задача заменяется системой алгебраических уравнений, называемых разностными. Количество разностных уравнений определяется числом узлов сетки. Совокупность разностных уравненийназывается разностной задачей или разностной схемой.

· Как правило, получаемая система уравнений имеет весьма разреженную матрицу большого порядка. Осуществляется решение системы разностных уравнений одним из известных методов. Нелинейные системы итерационными процедурами сводятся к линейным системам.

Основные этапы метода сеток поясним на примере стационарной задачи Дирихле для уравнения Пуассона

= -f(x,y)

в прямоугольнике D+дD = [0,l₁]´[0,l₂]. В задаче Дирихле краевое условие имеет вид

u(x,h) = g(x,h), (x,h)ÎдD.

На первом этапе область D непрерывного изменения аргументов x и y заменяют сеточной областью D_h. Проведем линии

x = m h₁, m = 0, …, M и y = n h₂, n = 0, …, N.

Постоянные величины

h₁ = l₁/M, h₂ = l₂/N, h = max(h₁,h₂)

называются шагами разностной сетки в направлении x и y. Точки (x_m,y_n) составляют узлы разностной сетки D_h и обозначаются (m,n). Узлы, лежащие внутри прямоугольника (x_m,y_n)ÎD, образуют множество внутренних узлов D_h, остальные принадлежат множеству дD_h граничных узлов. Любой граничный узел имеет по направлению x или y хотя бы один соседний внутренний узел. На рис. 1 внутренние узлы изображены светлыми, граничные – темными кружочками, граница области – сплошной линией.

Сеточная функция, определенная на сетке D_h, обозначается u^(h), ее значениям в узле (m,n) приписываются нижние индексы u_mn. Для любой функции u(x,y), заданной в области D_h+дD_h однозначно определена сеточная функция [u]_h со значениями

называемая проекцией u(x,y) на сетку.

Рис. 1