Задача математической физики в пространстве сеточных функций

Рассмотрим пространство H вещественных функций, определенных и интегрируемых в ограниченной области , со скалярным произведением

(f, g) = .

Норму функции f Î H определим равенством

|| f || = (f, f)½.

Из пространства H выделим подпространство F Ì H дифференцируемых функций. Пусть линейное отображение Q: F ® H сопоставляет функции uÎF функцию yÎH по правилу

y = L(u), (x,y)ÎD,

y = l(u), (x,y)ÎдD.

Спроектируем функцию y на сетку

[y]_h = [L(u)]_h, на D_h,

[y]_h = [l(u)]_h, на дD_h.

В пространстве сеточных функций F ^(h) соответствие между [y]_h и [u]_h будет линейным оператором Q_h: F ^(h)®F ^(h), определенным на функциях u^(h)ÎF ^(h) . Это соответствие можно записать раздельно для внутренних и граничных узлов

Q_h(u^(h)) = L_h(u^(h)) на D_h,

Q_h(u^(h)) = l_h(u^(h)) на дD_h.

Задача математической физики приводится в пространстве F ^(h) к отысканию функции u^(h)ÎF ^(h) по заданному образу

Q_h(u^(h)) = y ^(h), y ^(h) =

Пусть сеточная функция ÎF ^(h) удовлетворяет условию

l_h( ) =.[g]_h на дD_h.

Тогда для v^(h) = u^(h) - задача приводится к уравнению

Q_h(v^(h)) = [f]_h - Q_h( ) на D_h,

l_h(v^(h)) = 0 на дD_h.

Поскольку множество функций v^(h), удовлетворяющих на дD_h граничному условию l_h(v^(h)) = 0, образует подпространство F₁^(h)ÌF^(h), задача сводится к отысканию v^(h)ÎF₁^(h)по заданному образу

(Q_h|F₁^(h))(v^(h)) = f ^(h), f ^(h) = [f]_h - Q_h( ),

где _h = (Q_h|F₁^(h)): F₁^(h) ® F₁^(h) - ограничение оператора Q_h на инвариантное подпространство F₁^(h).

В конечномерном пространстве с фиксированным базисом оператор задается квадратной матрицей. Если в качестве взять функцию, удовлетворяющую условию l_h( ) =.[g]_h на дD_h, = 0 на D_h, то во внутренних узлах сетки будем иметь v^(h) = u^(h). Упорядочим значения сеточных функций u^(h) и f ^(h) во внутренних узлах как компоненты векторов uи f. Задача отыскания функции u^(h) приводится к системе линейных уравнений

L(u) = f,

где L - матрица оператора _h.