Главная Обратная связь

Дисциплины:






Задача математической физики в пространстве сеточных функций



Рассмотрим пространство H вещественных функций, определенных и интегрируемых в ограниченной области , со скалярным произведением

(f, g) = .

Норму функции f Î H определим равенством

|| f || = (f, f)½.

Из пространства H выделим подпространство F Ì H дифференцируемых функций. Пусть линейное отображение Q: F ® H сопоставляет функции uÎF функцию yÎH по правилу

y = L(u), (x,yD,

y = l(u), (x,yдD.

Спроектируем функцию y на сетку

[y]h = [L(u)]h, на Dh,

[y]h = [l(u)]h, на дDh.

В пространстве сеточных функций F (h) соответствие между [y]h и [u]h будет линейным оператором Qh: F (h)®F (h), определенным на функциях u(h)ÎF (h) . Это соответствие можно записать раздельно для внутренних и граничных узлов

Qh(u(h)) = Lh(u(h)) на Dh,

Qh(u(h)) = lh(u(h)) на дDh.

Задача математической физики приводится в пространстве F (h) к отысканию функции u(h)ÎF (h) по заданному образу

Qh(u(h)) = y (h), y (h) =

Пусть сеточная функция ÎF (h) удовлетворяет условию

lh( ) =.[g]h на дDh.

Тогда для v(h) = u(h) - задача приводится к уравнению

Qh(v(h)) = [f]h - Qh( ) на Dh,

lh(v(h)) = 0 на дDh.

Поскольку множество функций v(h), удовлетворяющих на дDh граничному условию lh(v(h)) = 0, образует подпространство F1(h)ÌF(h), задача сводится к отысканию v(h)ÎF1(h)по заданному образу

(Qh|F1(h))(v(h)) = f (h), f (h) = [f]h - Qh( ),

где h = (Qh|F1(h)): F1(h) ® F1(h) - ограничение оператора Qh на инвариантное подпространство F1(h).

В конечномерном пространстве с фиксированным базисом оператор задается квадратной матрицей. Если в качестве взять функцию, удовлетворяющую условию lh( ) =.[g]h на дDh, = 0 на Dh, то во внутренних узлах сетки будем иметь v(h) = u(h). Упорядочим значения сеточных функций u(h) и f (h) во внутренних узлах как компоненты векторов uи f. Задача отыскания функции u(h) приводится к системе линейных уравнений

L(u) = f,

где L - матрица оператора h.

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...