Задача математической физики в пространстве сеточных функций
Рассмотрим пространство H вещественных функций, определенных и интегрируемых в ограниченной области , со скалярным произведением
(f, g) = .
Норму функции f Î H определим равенством
|| f || = (f, f)½.
Из пространства H выделим подпространство F Ì H дифференцируемых функций. Пусть линейное отображение Q: F ® H сопоставляет функции uÎF функцию yÎH по правилу
y = L(u), (x,y)ÎD,
y = l(u), (x,y)ÎдD.
Спроектируем функцию y на сетку
[y]h = [L(u)]h, на Dh,
[y]h = [l(u)]h, на дDh.
В пространстве сеточных функций F (h) соответствие между [y]h и [u]h будет линейным оператором Qh: F (h)®F (h), определенным на функциях u(h)ÎF (h) . Это соответствие можно записать раздельно для внутренних и граничных узлов
Qh(u(h)) = Lh(u(h)) на Dh,
Qh(u(h)) = lh(u(h)) на дDh.
Задача математической физики приводится в пространстве F (h) к отысканию функции u(h)ÎF (h) по заданному образу
Qh(u(h)) = y (h), y (h) = 
Пусть сеточная функция ÎF (h) удовлетворяет условию
lh( ) =.[g]h на дDh.
Тогда для v(h) = u(h) - задача приводится к уравнению
Qh(v(h)) = [f]h - Qh( ) на Dh,
lh(v(h)) = 0 на дDh.
Поскольку множество функций v(h), удовлетворяющих на дDh граничному условию lh(v(h)) = 0, образует подпространство F1(h)ÌF(h), задача сводится к отысканию v(h)ÎF1(h)по заданному образу
(Qh|F1(h))(v(h)) = f (h), f (h) = [f]h - Qh( ),
где h = (Qh|F1(h)): F1(h) ® F1(h) - ограничение оператора Qh на инвариантное подпространство F1(h).
В конечномерном пространстве с фиксированным базисом оператор задается квадратной матрицей. Если в качестве взять функцию, удовлетворяющую условию lh( ) =.[g]h на дDh, = 0 на Dh, то во внутренних узлах сетки будем иметь v(h) = u(h). Упорядочим значения сеточных функций u(h) и f (h) во внутренних узлах как компоненты векторов uи f. Задача отыскания функции u(h) приводится к системе линейных уравнений
L(u) = f,
где L - матрица оператора h.
|