Погрешность численного дифференцирования

Пусть решение дифференциальной задачи u(x, y) является достаточно гладкой функцией, значение которой определено в каждой точке области D+дD. Условимся координаты точки задавать в масштабе сетки. Точка (x_x, y_h) в масштабе сетки имеет координаты x_x = x h₁, y_h = h h₂. Целые значения x, h соответствуют узлам сетки, дробные – точкам области D+дD, не являющимися узлами. Значению решения в точке (x_x, y_h) будем приписывать индексы x, h

u_xh = u(x_x, y_h).

Займемся построением разностных аналогов производной сеточной функции. На сетке предельный переход невозможен. Разностный аналог производной сеточной функции определим как отношение приращения, получаемого функцией при минимальном приращении аргумента, к шагу. На рис. 2 указаны узлы, отвечающие минимальному приращению одного из аргументов относительно узла (m,n).

Рассмотрим общий принцип построения разностных аналогов производных на примере дифференцирования по x. Поскольку в процессе дифференцирования по x остальные аргументы не участвуют, для краткости записи не будем их указывать в списке аргументов.

Пусть сеточная функция в точках x_m-1 =x_m - h, x_m, x_m+1 = x_m + h принимает значения соответственно u_m-1, u_m, u_m+1. Зададим значение сеточной функции в узле с полуцелым индексом

u_ám+½_ñ = (u_m+1 + u_m).

Можно построить три разностных аналога первой производной по x

.

По расположению дополнительно привлекаемых узлов назовем их соответственно правосторонней, левосторонней и центральной разностной производной.

Последовательно применяя формулу центральной разностной производной для целых и полуцелых индексов, построим разностные аналоги производных и

,

.

Оценку погрешности разностного дифференцирования проведем для случая, когда сеточная функция является проекцией на сетку дифференцируемой функции u(x), обладающей достаточным числом непрерывных производных. Непрерывная функция принимает промежуточные значения

([u]_m+1 + [u]_m) = [u]_x, x Î(m,m+1).

По формуле Лагранжа

= [ ]_x, x Î(m,m+1).

В окрестности точки x_aÎ[x_m-1, x_m+1]функцию u(x) можно разложить по формуле Тейлора

u(x) = [u]_a + (x - x_a) + + ¹/_k!(x - x_a)^k , x Î(m-1, m+1).

Полагая k = 2, x_a = x_m, а x поочередно равным x_m+1и x_m-1, получим разложения

[u]_m+1 = [u]_m + h[ ]_m + h²[ ]_x¢, x¢ Î(m,m+1),

[u]_m-1 = [u]_m - h[ ]_m + h²[ ]_x¢¢, x¢¢ Î(m-1,m).

Используя непрерывность второй производной, найдем

[u]_m+1 + [u]_m-1 = 2[u]_m + h²[ ]_x, x Î(m-1,m+1).

Из полученных равенств вытекают представления

[u]ám+½ñ = [u]x, x Î(m,m+1), = [ ]x, x Î(m,m+1), = [ ]x, x Î( m-1,m), = [ ]x, x Î( m-1,m+1), = [ ]x, x Î(m-1,m+1).

(2.5 )

Согласно формулам (2.5) для гладкой функции разностные аналоги равны соответствующему точному значению в сдвинутой точке.

Разложения по формуле Тейлора позволяют оценить погрешности

[u]ám+½ñ - [u]m+½= h2[ ]x, x Î(m,m+1), - [ ]m = h[ ]x, x Î(m,m+1), - [ ]m = - h[ ]x, x Î(m-1,m), - [ ]m = h2[ ]x, x Î(m-1,m+1), - [ ]m = h2[ ]x, x Î(m-1,m+1).

(2.6)

При выводе последней формулы использованы формула Тейлора при k = 4 и непрерывность четвертой производной.

Уравнения математической физики выражают в дифференциальной форме законы сохранения некой субстанции (массы, импульса, энергии и т. п.) и содержат дивергенцию потока субстанции через границу области. Выражение дивергенции включает производные вида . Считая функции u(x) гладкой, представим разностный аналог этой производной в интегральной форме

= I_m(a, u), I_m(a, u) =

и положим

J_m(a, u) = (I_m(a, u) – [ ]_m).

Применим к интегралу I_m(u) теорему о среднем значении

I_m(a, u) = (a(x¢) u(x¢+t¢)) = [a]_x¢[ ]_x¢¢+ [ ]_x¢ [ ]_x¢¢ ,

где |x¢ - m| < ½, |x¢¢ - m| < 1.

Для оценки интеграла J_m(a, u) разложим подынтегральную функцию по формуле Тейлора. Учитывая равенство

u(x+t) = u(x+t),

получим

u(x+t) = u(x) + t u(x) + u(x+t_x), |t_x| < h,

(a(x) u(x)) = [ (a )]_m+ Dx [ (a )]_m+

+ (a(x¢) u(x¢)), Dx = x – x_m, |x¢ - x_m| < h.

Сохраним только отличные от нуля значения интегралов

J_m(a, u) =

.

Применяя теорему о среднем значении интеграла, получим

J_m(a, u) = { (a )]_x+ (a(x¢) u(x¢+t¢))} =

= { (a )]_x+ [a]_x¢[ ]_x¢¢+ [ ]_x¢ [ ]_x¢¢ },

где |x - m| < ½, |x¢ - m| < ½, |x¢¢ - m| < 1.

Интегралы I_m(a, u) и J_m(a, u) выражаются через значения u(x) и a(x)и их производных в области D. Если функции u(x) и a(x)непрерывны в D+дD и обладают необходимым числом непрерывных производных, то I_m(a, u) и J_m(a, u) ограничены и существуют нормы

||I_m(a, u)|| £ ||a|| || || + || |||| ||,

|| J_m(a, u)|| £ {|| (a )|| + ||I(a, )||}.

Тогда справедливы представления

= Im(a, u), - [ (a )]m= Jm(a, u) .

(2.7)

При постоянном коэффициенте a приходим к полученным ранее оценкам (2.5), (2.6).

Вернемся к рассмотрению дифференцирования сеточной функции u^(h) и составим разностные аналоги частных производных по x и y. Частный характер дифференцирования будем отмечать соответствующим индексом при знаке производной. Например, левосторонние разностные аналоги для частных производных по x и y будем записывать соответственно и , их значения в узле (m,n) - и .

Рассмотрим дифференциальный оператор общего вида

L(u) = - - + cu

При заданных функциях a(x, y), b(x, y), c(x, y)можно составить сеточную функцию

L_h(u^(h)) = - - + [c]_h u^(h),

принимающую во внутренних узлах сетки значения

Lh(u(h)) = {- - + [c]m n um n, 0< m < M, 0< n < N}.

(2.8)

Если функция u(x,y) имеет четыре непрерывные производные, а a(x,y) и b(x,y) трижды непрерывно дифференцируемы, то погрешность во внутренних узлах принимает значения

L_h([u]_h) - [L(u)]_h = { J_m(a, u) + J_n(b, u), 0< m < M, 0< n < N}.

Перейдем к нормам

||Lh([u]h) - [L(u)]h|| £ ||Jm(a, u)|| + ||Jn(b, u)|| £ A¢h2,

(2.9)

где h = max(h₁, h₂), A¢= (||J_m(a, u)|| + ||J_n(b, u)||).

Разностный оператор (2.8) является элементом консервативных разностных схем, основанных на законах сохранения, свойстенных большинству физических процессов.