Главная Обратная связь

Дисциплины:






Аппроксимация граничных условий



Погрешность, связанная с приближенным характером численного дифференцирования, возникает также в граничном условии, если оно содержит производные. Рассмотрим задачу (2.1) в прямоугольной области [0, l1]´[0, l2] с граничным условием общего вида

l(u) = g{cosa u(x,h)+cosb u(x,h)}+ s(x,h)u(x,h) = g(x,h).

Здесь (x,hдD,

(cosa, cosb)|x = 0 = (-1, 0), (cosa, cosb)|x = l1= (1, 0),

(cosa, cosb)|h = 0 = (0, -1), (cosa, cosb)|h = l2= (0, 1).

 
 

 

 


Рис. 3

 

При перенесении краевых условий на сетку придется использовать формулы (2.5.2,3) c погрешностью (2.6.2,3) первого порядка по h1 и h2 по сравнению со вторым порядком во внутренних узлах. Для более точного представления граничных условий выполним преобразование сетки. Допуская, что решение дифференциальной задачи существует в области, включающей , сместим границу, где g = 1, на половину шага в сторону увеличения области. Пусть, например,

g(0, h) = 0, g(l1, h) = g(x, 0) = g(x, l2) = 1.

Тогда новая расчетная область [0, l1h1]´[-½h2, l2 h2] представляет прямоугольник, показанный на рис. 3 пунктирной линией. Прямоугольник = [0, l1]´[0, l2] изображен сплошной линией. Левая граница областей - общая. На сетке, построенной в новом прямоугольнике, граница области дD, на которой g = 1, проходит по середине между узлами, и при представлении граничных условий можно применить формулы (2.5.1,4), имеющие погрешности (2.6.1,4) второго порядка по h1 и h2.

Рассмотрим общий случай. Зададим значение gi по следующему правилу: gi = 1, если краевое условие на соответствующей стороне содержит производную, в противном случае gi = 0. Индекс i принимает значения из диапазона{1, 2, 3, 4} и обозначает соответственно левую, нижнюю, правую и верхнюю сторону прямоугольника. В расчетной области строим сетку

xm = (m -½ g1) h1, yn = (n -½ g2)h2, 0 £ m £ M, 0 £ n £ N, h1= l1/(M -½ g1 -½ g3), h2= l2/(N -½ g2 -½ g4). (2.10)

В масштабе сетки точка (xx, yh) теперь будут иметь координаты (x,h), определяемые условием

xx = (x -½ g1) h1, yh = (h -½ g2)h2.

Перенесем краевые условия на сетку. Если на стороне gi = 0, краевое условие определяется по-прежнему формулами (1.15)

uxh = gxh , (x,hдDh.

Если gi = 1, используем формулы (2.5.1,4) для представления производных по x и аналогичные формулы для производных по y.

Запишем краевые условия компактно (h3 = h1, h4 = h2)

uxh = gxh , gi = 0, (u - uab)/hi + [s]xh (u + uab) = [g]xh, gi = 1, (2.11)

где (x, hдD, ( дDh, (a, bDh. Соотношения между различными параметрами приведены в таблице 1.



Таблица 1. Соответствие между узлами в граничном условии

i ( ) (a, b) (x, h), gi = 0 (x, h), gi = 1
(0, n) (1, n) (0, n) (½, n)
(M, n) (M-1, n) (M, n) (M-½, n)
(m, 0) (m, 1) (m, 0) (m, ½)
(m, N) (m, N-1) (m, N) (m, N-½)

 

Оценим погрешность аппроксимации в граничном узле. Согласно формулам (2.6.1,4) имеем

lh([u]h) – [l(u)]h =

Допуская, что решение имеет соответствующие непрерывные производные, получим (h = max(h1, h2))

|dfxh| £ £ A¢¢h2, (2.12)

причем в точках границы (x,h), где граничное условие не содержит производную (gi = 0), невязка dfxh равна нулю.

Разрешим уравнение (2.11) относительно значения в граничном узле (h3 = h1, h4 = h2)

u = R uab + G , R = , G = (2.13)

Итак, в общем случае краевое условие преобразуется на сетке в уравнения, выражающие граничные значения неизвестных через значения во внутренних узлах.

Для оператора (2.8) разностная задача (2.2) принимает вид

Cm n um n - Am-½n um-1 n - Am+½n um+1 n - - Bm n-½um n-1 - Bm n+½um n+1 = [f]m n, u0 n = G0 n + R0 n u1 n, uM n = GM n + RM n uM-1 n, 1 £ n £ N-1, um 0 = Gm 0 + Rm 0 um 1, um N = Gm N + Rm N um N-1, 1 £ m £ M-1. (2.14)

Здесь

Am+½n = , Bm n+½= ,

Cm n = Am-½n + Am+½n + Bm n-½+ Bm n+½+ cm n.

Суммируя результаты оценок погрешностей (2.9), (2.12) во внутренних и граничных узлах, получим

||df (h)|| £ Ah2, A = max(A¢, A¢¢), (2.15)

откуда вытекает, что разностная задача (2.2) аппроксимирует дифференциальную задачу (2.1) в прямоугольной области со вторым порядком по h.

Используя граничные условия (2.13), исключим из системы уравнений (2.14) значения в граничных узлах. Эквивалентная система

(u(h)) = f (h) на Dh

содержит только значения неизвестных во внутренних узлах. После решения этой системы из уравнений (2.13) найдем значения в граничных узлах. Запишем систему (2.14) в явном виде.

C¢mn umn - Am-½n um-1n - Am+½n um+1n - Bmn-½umn-1 - Bmn+½umn+1 = fmn,

A½ n = AM-½n = Am ½= Am N-½= 0, 1 £ m £ M-1, 1£ n £ N-1.

Новые значения коэффициентов определяются формулами

C¢mn = cm n + (Am-½n - A½n R0ndm1) + (Am+½n - AM-½n RM ndmM-1)+

+ (Bmn-½- Bm ½Rm0d1n) + (Bmn+½- Bm N-½RmN dN-1 n),

fmn = [f]mn + A½n G0ndm1 + AM-½ n GM ndmM-1 +

+ Bm ½Gm0d1n + Bm N-½GmN dN-1 n.

Здесь A½ n, AM-½n, Am ½, Am N-½-прежние (не обнуленные) значения коэффициентов, dmn - символ Кронекера.

Упорядочим значения сеточных функций как компоненты векторов

u = (u11,…, uM-1 1, u12,…, uM-1 2, …, u1N-1,…, uM-1N-1),

f = ( f11,…, fM-1 1, f12,…, fM-1 2, …, f1N-1,…, fM-1 N-1).

Тогда систему уравнений можно записать в матричном виде

L(u) = f,

где симметричная матрица Lпредставляет разностный оператор . Квадратная матрица L порядка (M-1)(N-1) имеет блочную структуру и составлена из квадратных матриц An и Bn порядка M-1, 1 £ n £ N-1.

An = , Bn = ,

, L = . (2.16)

Выражение матрицы L остается неизменным для квазилинейной задачи, когда коэффициенты a, b и s зависят от решения задачи u. Если решение u имеет непрерывные производные до четвертого порядка, а функции a и b трижды непрерывно дифференцируемы, сохраняется оценка (2.15), устанавливающая второй порядок аппроксимации по пространственным переменным.

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...