Аппроксимация граничных условий

Погрешность, связанная с приближенным характером численного дифференцирования, возникает также в граничном условии, если оно содержит производные. Рассмотрим задачу (2.1) в прямоугольной области [0, l₁]´[0, l₂] с граничным условием общего вида

l(u) = g{cosa u(x,h)+cosb u(x,h)}+ s(x,h)u(x,h) = g(x,h).

Здесь (x,h)ÎдD,

(cosa, cosb)|_{x = 0} = (-1, 0), (cosa, cosb)|_{x = l1}= (1, 0),

(cosa, cosb)|_{h = 0} = (0, -1), (cosa, cosb)|_{h = l2}= (0, 1).

Рис. 3

При перенесении краевых условий на сетку придется использовать формулы (2.5.2,3) c погрешностью (2.6.2,3) первого порядка по h₁ и h₂ по сравнению со вторым порядком во внутренних узлах. Для более точного представления граничных условий выполним преобразование сетки. Допуская, что решение дифференциальной задачи существует в области, включающей , сместим границу, где g = 1, на половину шага в сторону увеличения области. Пусть, например,

g(0, h) = 0, g(l₁, h) = g(x, 0) = g(x, l₂) = 1.

Тогда новая расчетная область [0, l₁+½h₁]´[-½h₂, l₂ +½h₂] представляет прямоугольник, показанный на рис. 3 пунктирной линией. Прямоугольник = [0, l₁]´[0, l₂] изображен сплошной линией. Левая граница областей - общая. На сетке, построенной в новом прямоугольнике, граница области дD, на которой g = 1, проходит по середине между узлами, и при представлении граничных условий можно применить формулы (2.5.1,4), имеющие погрешности (2.6.1,4) второго порядка по h₁ и h₂.

Рассмотрим общий случай. Зададим значение g_i по следующему правилу: g_i = 1, если краевое условие на соответствующей стороне содержит производную, в противном случае g_i = 0. Индекс i принимает значения из диапазона{1, 2, 3, 4} и обозначает соответственно левую, нижнюю, правую и верхнюю сторону прямоугольника. В расчетной области строим сетку

В масштабе сетки точка (x_x, y_h) теперь будут иметь координаты (x,h), определяемые условием

x_x = (x -½ g₁) h₁, y_h = (h -½ g₂)h₂.

Перенесем краевые условия на сетку. Если на стороне g_i = 0, краевое условие определяется по-прежнему формулами (1.15)

u_xh = g_xh , (x,h)ÎдD_h.

Если g_i = 1, используем формулы (2.5.1,4) для представления производных по x и аналогичные формулы для производных по y.

Запишем краевые условия компактно (h₃ = h₁, h₄ = h₂)

uxh = gxh , gi = 0, (u - uab)/hi + [s]xh (u + uab) = [g]xh, gi = 1,

(2.11)

где (x, h)ÎдD, ( )ÎдD_h, (a, b)ÎD_h. Соотношения между различными параметрами приведены в таблице 1.

Таблица 1. Соответствие между узлами в граничном условии

i	( )	(a, b)	(x, h), gi = 0	(x, h), gi = 1
	(0, n)	(1, n)	(0, n)	(½, n)
	(M, n)	(M-1, n)	(M, n)	(M-½, n)
	(m, 0)	(m, 1)	(m, 0)	(m, ½)
	(m, N)	(m, N-1)	(m, N)	(m, N-½)

Оценим погрешность аппроксимации в граничном узле. Согласно формулам (2.6.1,4) имеем

l_h([u]_h) – [l(u)]_h =

Допуская, что решение имеет соответствующие непрерывные производные, получим (h = max(h₁, h₂))

|dfxh| £ £ A¢¢h2,

(2.12)

причем в точках границы (x,h), где граничное условие не содержит производную (g_i = 0), невязка df_xh равна нулю.

Разрешим уравнение (2.11) относительно значения в граничном узле (h₃ = h₁, h₄ = h₂)

u = R uab + G , R = , G =

(2.13)

Итак, в общем случае краевое условие преобразуется на сетке в уравнения, выражающие граничные значения неизвестных через значения во внутренних узлах.

Для оператора (2.8) разностная задача (2.2) принимает вид

Здесь

A_m+½_n = , B_{m n+}½= ,

C_{m n} = A_m-½_n + A_m+½_n + B_{m n-}½+ B_{m n+}½+ c_{m n}.

Суммируя результаты оценок погрешностей (2.9), (2.12) во внутренних и граничных узлах, получим

откуда вытекает, что разностная задача (2.2) аппроксимирует дифференциальную задачу (2.1) в прямоугольной области со вторым порядком по h.

Используя граничные условия (2.13), исключим из системы уравнений (2.14) значения в граничных узлах. Эквивалентная система

(u^(h)) = f ^(h) на D_h

содержит только значения неизвестных во внутренних узлах. После решения этой системы из уравнений (2.13) найдем значения в граничных узлах. Запишем систему (2.14) в явном виде.

C¢_mn u_mn - A_m-½_n u_m-1n - A_m+½_n u_m+1n - B_mn-½u_mn-1 - B_mn+½u_mn+1 = f_mn,

A½ _n = A_M-½_n = A_m ½= A_{m N-}½= 0, 1 £ m £ M-1, 1£ n £ N-1.

Новые значения коэффициентов определяются формулами

C¢_mn = c_{m n} + (A_m-½_n - A½_n R_0nd_m1) + (A_m+½_n - A_M-½_n R_{M n}d_mM-1)+

+ (B_mn-½- B_m ½R_m0d_1n) + (B_mn+½- B_{m N-}½R_mN d_{N-1 n}),

f_mn = [f]_mn + A½_n G_0nd_m1 + A_M-½ _n G_{M n}d_mM-1 +

+ B_m ½G_m0d_1n + B_{m N-}½G_mN d_{N-1 n}.

Здесь A½ _n, A_M-½_n, A_m ½, A_{m N-}½-прежние (не обнуленные) значения коэффициентов, d_mn - символ Кронекера.

Упорядочим значения сеточных функций как компоненты векторов

u = (u₁₁,…, u_{M-1 1}, u₁₂,…, u_{M-1 2}, …, u_1N-1,…, u_M-1N-1),

f = ( f₁₁,…, f_{M-1 1}, f₁₂,…, f_{M-1 2}, …, f_1N-1,…, f_{M-1 N-1}).

Тогда систему уравнений можно записать в матричном виде

L(u) = f,

где симметричная матрица Lпредставляет разностный оператор . Квадратная матрица L порядка (M-1)(N-1) имеет блочную структуру и составлена из квадратных матриц A_n и B_n порядка M-1, 1 £ n £ N-1.

A_n = , B_n = ,

, L = .

(2.16)

Выражение матрицы L остается неизменным для квазилинейной задачи, когда коэффициенты a, b и s зависят от решения задачи u. Если решение u имеет непрерывные производные до четвертого порядка, а функции a и b трижды непрерывно дифференцируемы, сохраняется оценка (2.15), устанавливающая второй порядок аппроксимации по пространственным переменным.