Главная Обратная связь

Дисциплины:






Аппроксимация нестационарной задачи



Аналогичным образом можно исследовать аппроксимацию по временной переменной. Рассмотрим эволюционную задачу (1.11)

+ L(u) = f в D´Dt, (j = 1, 2) l(u) = g на дD´Dt, u = j, = y при j=2 в D при t = 0. (2.17)

Аппроксимацию проведем в два этапа. Сначала аппроксимируем задачу по пространственным переменным в области Dh´Dt. Получим дифференциальное уравнение по времени и разностное по пространственным переменным.

+ Lh(u(h)) = [f]h в Dh´Dt, lh(u(h)) = [g]h на дDh´Dt. u(h) = [j]h, = [y]h, (j=2) в Dh´{t = 0}. (2.18)

Здесь u(h), [f]h, [g]h - функции времени. Операторы Lh и lh тоже зависят от времени.

Введем сетку по переменной t и заменим производную по времени разностным аналогом. Представляет проблему задача гиперболического типа (j = 2), поскольку при t = 0 заданы два условия. Построим разностный аналог производной . Разлагая решение по формуле Тейлора

, 0 < q < 1,

получим

.

Выразим вторую производную, записав уравнение при t = 0

+ L0(j) = f 0,

где L0 и f 0 – оператор L и функция f при t = 0.

.

Заменив L0 разностным оператором, получим разностный аналог

в Dh´{t = 0}. (2.19)

Для погрешности численного дифференцирования получим формулу

=

= .

Для гладкой функции j, используя неравенство (2.9), имеем оценку

£ . (2.20)

Из формулы (2.19) вытекает

, (m, n) Î Dh.

Разностная схема задачи (2.18) представляет систему уравнений

+ Lht(u(ht)) = [f]ht в Dht = Dh´Dt, lht(u(ht)) = [g]ht на дDh´Dt, u(ht) = [j]hDh´{0}, = [y]h + ½ t ([f 0]h – Lhá0ñ([j]h) при j = 2. (2.21)

Здесь знак [.]ht означает проектирование на сетку, Lht = Lhátkñ, где в угловые скобки заключен список аргументов оператора Lht. Для эволюционных задач невязка является сеточной функцией

df (ht)= (2.22)

Определение 2.2. Разностная задача (2.21) аппроксимирует эволюционную дифференциальную задачу (2.17) на решении u с порядками k по пространству и p по времени, если невязка (2.22) удовлетворяет условию

||df (ht)|| £ A1h k + A2t p (2.23)

и положительные константы A1, A2, k, p не зависят от h и t.

Возможен другой подход к аппроксимации задачи (2.17). Используем граничное условие, для исключения решения в граничных узлах в системе (2.18). Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для компонент u(h).

+ (u(h)) = [f]h в Dh´Dt,

u(h) = [j]h ( = [y]h, j=2) в Dh´{t = 0}.

Упорядочив значения сеточной функции как компоненты вектора u, получим задачу Коши



+ L(u) = f,

u(0)= j, = y при j=2.

где L - матрица (2.16) оператора . Далее проводим аппроксимацию задачи Коши по переменной t.

+ Lk(uk) = fk, u0 = j, = y + ½ t (f0 - L0(j)), при j=2. (2.24)

Найдем погрешность численного дифференцирования сеточной функции полуцелого индекса. Поскольку

,

то согласно (2.5.4) для гладкой функции u(x, t) имеем

, x Î (m-1, m+1).

Тогда согласно (2.5.1)

, q Î (k-1, k+1).

Аналогично получаются остальные формулы (2.25).

1. , x Î (m, m+1), q Î (k, k+1), 2. , x Î (m, m+1), q Î (k, k+1), 3. , x Î (m-1, m+1), q Î (k-1, k+1), 4. , q Î (k-1, k+1). (2.25)

Возможная зависимость функции u от y, не меняя ничего принципиально, сводится к добавлению индекса n.

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...