Дисциплины:
Аппроксимация нестационарной задачи
Аналогичным образом можно исследовать аппроксимацию по временной переменной. Рассмотрим эволюционную задачу (1.11)
 + L(u) = f в D´Dt, (j = 1, 2)
l(u) = g на дD´Dt,
u = j,  = y при j=2 в D при t = 0.
| (2.17) |
Аппроксимацию проведем в два этапа. Сначала аппроксимируем задачу по пространственным переменным в области Dh´Dt. Получим дифференциальное уравнение по времени и разностное по пространственным переменным.
 + Lh(u(h)) = [f]h в Dh´Dt,
lh(u(h)) = [g]h на дDh´Dt.
u(h) = [j]h,  = [y]h, (j=2) в Dh´{t = 0}.
| (2.18) |
Здесь u(h), [f]h, [g]h - функции времени. Операторы Lh и lh тоже зависят от времени.
Введем сетку по переменной t и заменим производную по времени разностным аналогом. Представляет проблему задача гиперболического типа (j = 2), поскольку при t = 0 заданы два условия. Построим разностный аналог производной 
. Разлагая решение по формуле Тейлора
, 0 < q < 1,
получим
.
Выразим вторую производную, записав уравнение при t = 0
+ L0(j) = f 0,
где L0 и f 0 – оператор L и функция f при t = 0.
.
Заменив L0 разностным оператором, получим разностный аналог
 в Dh´{t = 0}.
| (2.19) |
Для погрешности численного дифференцирования получим формулу
=
= 
.
Для гладкой функции j, используя неравенство (2.9), имеем оценку
 £  .
| (2.20) |
Из формулы (2.19) вытекает
, (m, n) Î Dh.
Разностная схема задачи (2.18) представляет систему уравнений
 + Lht(u(ht)) = [f]ht в Dht = Dh´Dt,
lht(u(ht)) = [g]ht на дDh´Dt,
u(ht) = [j]h,в Dh´{0},
 = [y]h + ½ t ([f 0]h – Lhá0ñ([j]h) при j = 2.
| (2.21) |
Здесь знак [.]ht означает проектирование на сетку, Lht = Lhátkñ, где в угловые скобки заключен список аргументов оператора Lht. Для эволюционных задач невязка является сеточной функцией
df (ht)= 
| (2.22) |
Определение 2.2. Разностная задача (2.21) аппроксимирует эволюционную дифференциальную задачу (2.17) на решении u с порядками k по пространству и p по времени, если невязка (2.22) удовлетворяет условию
| ||df (ht)|| £ A1h k + A2t p | (2.23) |
и положительные константы A1, A2, k, p не зависят от h и t.
Возможен другой подход к аппроксимации задачи (2.17). Используем граничное условие, для исключения решения в граничных узлах в системе (2.18). Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для компонент u(h).
+ 
(u(h)) = [f]h в Dh´Dt,
u(h) = [j]h ( 
= [y]h, j=2) в Dh´{t = 0}.
Упорядочив значения сеточной функции как компоненты вектора u, получим задачу Коши
+ L(u) = f,
u(0)= j, 
= y при j=2.
где L - матрица (2.16) оператора . Далее проводим аппроксимацию задачи Коши по переменной t.
 + Lk(uk) = fk,
u0 = j,  = y + ½ t (f0 - L0(j)), при j=2.
| (2.24) |
Найдем погрешность численного дифференцирования сеточной функции полуцелого индекса. Поскольку
,
то согласно (2.5.4) для гладкой функции u(x, t) имеем
, x Î (m-1, m+1).
Тогда согласно (2.5.1)
, q Î (k-1, k+1).
Аналогично получаются остальные формулы (2.25).
1.  ,
x Î (m, m+1), q Î (k, k+1),
2.  ,
x Î (m, m+1), q Î (k, k+1),
3. ,
x Î (m-1, m+1), q Î (k-1, k+1),
4.  ,
q Î (k-1, k+1).
| (2.25) |
Возможная зависимость функции u от y, не меняя ничего принципиально, сводится к добавлению индекса n.