Главная Обратная связь

Дисциплины:






Построение разностной схемы и определение порядка аппроксимации



Рассмотрим примеры составления разностных схем по заданному шаблону. При определении порядка аппроксимации используют оценки погрешностей численного дифференцирования (2.6), (2.7), (2.25).

Пример 2.2. Составить разностную схему задачи переноса по шаблону № 3 «левый неявный уголок». Определить порядок аппроксимации.

Решение. По отношению к узлу (k+1,m) шаблон вводит левосторонние производные по t и x

, 1 £ m £ M, (k+1)t £ T.

С привлечением начальных и граничных значений получаем схему бегущего счета

= j(xm), 0£ m £ M,

= g(tk+1), (k+1)t £ T,

, m = 1, …, M.

Невязка отлична от нуля только во внутренних узлах.

.

Привлекая формулы (2.6), приходим к оценке, полученной в примере 2.1.

||df(ht)|| £ + .

Разностная схема аппроксимирует задачу с первым порядком по h и t.

 

Пример 2.3. Составить разностную схему задачи теплопроводности по шаблону № 8 «неявный треугольник». Определить порядок аппроксимации.

Решение. По отношению к узлу (k+1,m) шаблон вводит левостороннюю производную по t и центральную по x

, 1£ m £ M-1, (k+1)t £ T,

или в развернутом виде

.

Шаблон трехслойный по пространству. Задача имеет два граничных условия. Невязка во внутренних узлах

согласно (2.6) принимает значение

= - , x Î(m-1,m+1), q Î(k,k+1).

Считая, что решение u(x, t) имеет непрерывные производные соответствующего порядка, получим согласно (2.4)

| | £ + .

Если в граничном узле задано условие Дирихле, невязка равна нулю. В общем случае имеем по (2.27)

£ , i = 0, 1, xi Î{0, M}.

После перехода к нормам получим

| | £ , i = 0, 1.

Разностная схема аппроксимирует задачу со вторым порядком по h и первым по t.

Представляя граничные условия в форме (2.13), приведем разностную задачу к системе уравнений

= j(xm), 0£ m £ M,

, (k+1)t £ T,

,

, 1£ m £ M-1.

Здесь по формулам (2.26)

, , , . (2.28)

При решении разностной задачи придется на каждом временном слое решать систему линейных алгебраических уравнений.

 

Пример 2.4. Составить разностную схему волновой задачи по шаблону № 11 «крест». Определить порядок аппроксимации.

Решение. В узле (k,m) имеем центральные производные по аргументам x и t.

.

Начальные условия задачи согласно (2.19)

= j(xm),

= y(xm) + ½ t (f (xm,0) + ).

Невязка во внутренних узлах

= =

= - , x Î(m-1,m+1), q Î(k-1,k+1).

Погрешность аппроксимации начального условия согласно (2.20) имеет значение

.



Погрешность аппроксимации граничных условий (2.13) определяется формулой (2.27), полученной в примере 2.3. Разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу со вторым порядком по h и t.

Присоединим начальные и граничные условия и запишем разностное уравнение в развернутом виде

= j(xm), 0£ m £ M,

=

=

,

, 1£ m £ M-1, (k+1)t £ T.

Коэффициенты представлены формулами (2.28).

Поскольку схема явная, решение получается последовательным вычислением значений сеточной функции на временных слоях.

 

Пример 2.5. Составить разностную схему задачи переноса по шаблону № 7 «неявный треугольник». Определить порядок аппроксимации.

Решение. По отношению к узлу (k+1,m) шаблон вводит левостороннюю производную по t и центральную по x

, 1£ m £ M-1, (k+1)t £ T.

Шаблон трехслойный по времени при единственном граничном условии. В узлах пространственного слоя с индексом M нельзя использовать центральную разностную производную. Заменим ее левосторонней, сохраняя неявный тип схемы. Получим искусственное «граничное условие» справа.

, (k+1)t £ T.

Разностная схема принимает вид

= j(xm), 0£ m £ M,

= g(tk+1),

,1£ m £ M-1,

, (k+1)t £ T.

При решении разностной задачи придется на каждом временном слое решать систему линейных алгебраических уравнений.

Найдем порядок аппроксимации. Во внутренних узлах имеем

= =

= .

На искусственной правой «границе»

= .

Разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу с первым порядком по h и t, причем во внутренних узлах – второй порядок аппроксимации по h. Поскольку в задаче переноса возмущения распространяются вдоль характеристик, можно ожидать, что погрешности аппроксимации правого граничного условия не оказывают существенного влияния на решение задачи.

 

Пример 2.6. Составить разностную схему задачи переноса по шаблону № 5 «квадрат». Определить порядок аппроксимации.

Решение. По отношению к центру симметрии шаблон вводит центральные разностные производные по t и по x

, 1£ m £ M, (k+1)t £ T,

или в развернутом виде

.

Невязка отлична от нуля во внутренних узлах

+

+ .

Согласно формулам (2.25) и (2.6) имеем

+

+ ,

где x, x1,,1Î(m-1, m), q, q1,,1Î(k, k+1). Перейдем к нормам

||df(ht)|| £ .

Схема имеет второй порядок аппроксимации по h и t.

Привлекая начальное и граничное условия, получим схему бегущего счета

= j(xm), 0£ m £ M,

= g(tk+1),

,

m £ M, (k+1)t £ T.

 

Пример 2.7. Составить разностную схему задачи переноса по шаблону № 11 «крест». Определить порядок аппроксимации.

Решение. Шаблон трехслойный по пространству и по времени при одном краевом и одном начальном условиях. По отношению к узлу (k,m) шаблон вводит центральные разностные производные по t и по x, в которых не используется значение сеточной функции в центральном узле.

 
 


Рис. 4

Введем вспомогательные узлы с полуцелым индексом. На рис. 4изображен фрагмент сетки. Слои целого и полуцелого индексов изображены соответственно сплошными и пунктирными линиями. Значения на правой границе расчетной области замкнем с помощью разностного уравнения, записанного по шаблону №5 (пример 2.6). В узлах начального временного слоя используем правостороннюю разностную производную по t. Получим разностную схему бегущего счета

= j(xm), 0£ m £ M,

m £ M-1,

= g(tk+1),

, 1£ m £ M-1,

+

+ (k+1)t £ T.

Невязка во внутренних узлах

= ,

=

после приведения по формуле (2.6.4) получает оценку

max(| |, | |) £ .

На правой «границе» оценка невязки произведена в примере 2.6

| | £ +

+ .

Разностная схема аппроксимирует задачу со вторым порядком по h и t.

 

Пример 2.8. Составить разностную схему задачи переноса по шаблону № 6 Лакса. Определить порядок аппроксимации.

Решение. По отношению к точке (k,m) шаблон вводит центральную разностную производную по x и правостороннюю по t, причем при численном дифференцировании значение искомой функции в узле (k,m) не используется. Введем вспомогательные узлы с полуцелым индексом, рис. 4. Тогда разностная схема представляется уравнениями

, 1£ m £ M-1,

, (k+1)t £ T.

В узлах с индексом M нельзя применить центральную разностную производную. Сохраняя явный характер схемы, запишем уравнение в промежуточном узле (M, k+ ½) по шаблонам №1 и 3

,

, (k+1)t £ T.

Определим порядок аппроксимации. Во внутренних узлах невязка имеет значение

+ ,

где , а точка (x,t) принимает значения (m+1/2, k) и (m, k+1/2).

Применяя формулы (2.6.4) и (2.6.1), получим оценку

| | £ .

Невязка в граничных узлах получена в примерах 2.1, 2.2

max(| |,| |) £ + ||a||.

Итак, невязка является величиной O(h, h2/t, t).

Исключим из граничных условий

.

Разностная схема принимает вид

= j(xm), 0£ m £ M,

,

m £ M-1,

= g(tk+1), (k+1)t £ T,

,

m £ M-1,

.

Решение разностной задачи получается последовательным вычислением значений сеточной функции на временных слоях.

 

Пример 2.9. Составить разностную схему задачи теплопроводности по шаблону № 12 Кранка – Николсона. Определить порядок аппроксимации.

Решение. По отношению к центру симметрии шаблон вводит центральную разностную производную по t.

,

m £ M-1, k £ K-1.

Граничные условия имеют вид

, ,

где коэффициенты представлены формулами (2.28).

Определим порядок аппроксимации. Невязка во внутренних узлах равна

- .

Применяя формулы (2.6.4,5) и (2.25), найдем

| | £ .

В граничных узлах оценка невязки (2.27) проведена в примере 2.3. Разностная схема аппроксимирует задачу со вторым порядком по h и t.

В разностном уравнении и в граничных условиях перейдем к переменной

Разностная схема примет вид

= j(xm), 0£ m £ M,

,

=

= , 1£ m £ M-1,

,

,0£ m £ M,(k+1)t £ T.

При решении разностной задачи придется на каждом временном слое решать систему линейных алгебраических уравнений.

 

Пример 2.10. Составить разностную схему волновой задачи по шаблону № 13 «прямоугольник». Определить порядок аппроксимации.

Решение. По отношению к узлу (k,m) шаблон вводит центральную разностную производную по t.

.

При a = ½ аппроксимация разностного уравнения соответствует шаблону №14.

Определим порядок аппроксимации. Во внутренних узлах

= .

Применяя формулы (2.6.5) и (2.25), найдем оценку

| | £ .

Погрешность аппроксимации начального условия при гладкой функции j равна

, q Î (0, 1), x Î (m-1, m+1).

В граничных узлах оценка невязки (2.27) проведена в примере 2.3. Разностная схема аппроксимирует задачу со вторым порядком по h и t.

Перейдем в уравнении к новой переменной

.

Разностное уравнение примет вид

, 1£ m £ M-1, (k+1)t £ T.

Краевые условия запишем для функции v(h).

= j(xm), 0£ m £ M,

,

, , 1£ m £ M-1,

,

,

,

, 0£ m £ M, (k+1)t £ T.

Здесь

,

.

На каждом временном слое k ³ 2 необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений.


 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...