Принцип замороженных коэффициентов. Критерий Гельфанда – Бабенко

Обозначим du^(ut)= v^(ht)– u^(ht)сеточную функцию вычислительной погрешности. В силу линейности операторов L_h и l_h вычислительная погрешность является решением разностной задачи

+ L_ht(du^(ht)) = e^(ht)в D_ht ,

l_ht(du^(ht)) = e^(ht)на дD_h´D_t ,

du^(ht) = e^(ht), =e^(ht) при j=2в D_h´{t=0}.

Проверка разностной схемы на устойчивость может быть проведена экспериментально. Для этого необходимо внести малые возмущения и проверить, остается ли решение задачи du^(ht)ограниченным или возрастает. В первом случае схема является нечувствительной к малым возмущениям, следовательно, устойчивой, во втором – неустойчивой.

В задаче, определяющей эволюцию вычислительной погрешности du^(ht), возмущения присутствуют в правой части разностных уравнений и в начальных и граничных условиях. Задание произвольного возмущения e^(h) на начальном временном слое приведет к появлению возмущений на следующих слоях. С другой стороны, при исследовании задачи можно проследить за развитием возмущения, начиная с любого временного слоя, приняв его за начальный. Поэтому, достаточно рассмотреть задачу для однородного уравнения с однородными граничными условиями.

+ Lht(du(ht)) = 0 в Dht , lht(du(ht)) = 0 на дDh´Dt , du(ht) = e(h), = e(h) при j=2в Dh´{t=0}

(3.5)

Основной метод исследования устойчивости разностной задачи называется принципом замороженных коэффициентов. Рассмотрим одномерную эволюционную задачу (2.17) с коэффициентами, зависящими непрерывно от x и t. Тогда каждый узел (m,k) сетки D_h принадлежит области существования решения дифференциальной задачи с некоторой окрестностью W(m,k), в которой коэффициенты уравнения можно считать приблизительно постоянными. При неограниченном измельчении сетки в W(m,k) окажется множество узлов. Поскольку для любого внутреннего узла расстояние до границы, измеряемое шагами сетки, велико, распространение возмущений в W(m,k) будет описываться задачей Коши с постоянными коэффициентами, причем для каждого узла (m,k) свои условия устойчивости. Из всей совокупности условий необходимо оставить наиболее ограничительные. Тогда ни в одном узле возмущение не будет возрастать, разностная схема будет устойчивой.

Граничный узел при любом измельчении сетки остается на границе, причем расстояние до другой границы, измеряемое шагами сетки, велико. В окрестности граничного узла необходимо рассматривать задачу в полубесконечной области с одним краевым условием. Специфическое возмущение, порождаемое граничным условием, убывает по мере удаления от границы.

Принцип замороженных коэффициентов дает асимптотически необходимое условие устойчивости, т.е. условие, которое выполняется при предельном переходе t ® ¥ и h ® ¥. Реализация принципа замороженных коэффициентов приводит к исследованию в бесконечной и полубесконечной области задач с постоянными коэффициентами, повторяющими все значения коэффициентов реальной задачи в «замороженном» виде.

Принцип замороженных коэффициентов реализован в критерии Гельфанда – Бабенко, состоящем в следующем.

1. В окрестности каждого внутреннего узла исследуется задача Коши с постоянными коэффициентами в бесконечной области. За коэффициенты задачи принимаются их значения в узле. Возмущение ограничено при m ® ¥ и m ® -¥ на каждом временном слое.

+ Lht(du(ht)) = 0, -¥ < m < +¥, kt £ T, du(ht) = e(h), -¥ < m < +¥, k = 0, |du(ht)| < ¥ при m ® ±¥, kt £ T.

(3.6)

2. В окрестности каждого граничного узла (0,k) исследуется краевая задача с постоянными коэффициентами в полубесконечной области. За коэффициенты задачи принимаются их значения в узле. Возмущение вызвано краевым условием и при m ® ¥ убывает на каждом временном слое.

+ Lht(du(ht)) = 0, 0 < m < +¥, kt £ T, lht(du(ht)) = 0, … m = 0, kt £ T, du(ht) = e(h), 0 £ m < +¥, k = 0, |du(ht)| ®0при m ® ¥.

(3.7)

3. В окрестности каждого граничного узла (М,n) исследуется краевая задача с постоянными коэффициентами в полубесконечной области. За коэффициенты задачи принимаются их значения в узле. Возмущение вызвано краевым условием и при m ® -¥ убывает на каждом временном слое.

+ Lht(du(ht)) = 0, -¥ < m < M, kt £ T, lht(du(ht)) = 0, m = M, kt £ T, du(ht) = e(h), -¥ < m < M, k = 0, |du(ht)| ®0при m ® -¥.

(3.8)

Условия, при которых в каждой из трех задач возмущение остается ограниченным, являются асимптотически необходимыми условиями устойчивости разностной схемы

| | £ d.

Определимся с выбором начального возмущения. Задача Коши в бесконечной области для дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет точное решение

u(x,t) = ,

где i = – мнимая единица. В задаче переноса c = -iaw, в задаче теплопроводности c = - aw², в волновой задаче c = . Решение представляет суперпозицию волн (гармоник) вида , функция C(w) определяется из разложения начальной функции в ряд Фурье. В соответствии с аппроксимацией разностную гармонику можно представить в виде =C_w l^ke^iwhm, а все решение – как суперпозицию гармоник. Множитель l может быть комплексным числом и является показателем роста или затухания соответствующей гармоники. Следовательно, в задаче 1 критерия Гельфанда – Бабенко за начальное возмущение можно взять e_m = e e^iwhm, где ||e^(h)|| = e,а решение задачи искать в виде

= e l^ke^iwhm

Поскольку |e^iwhm| =1, все условия задачи (3.6) будут выполнены.

Подставим в однородное разностное уравнение и получим уравнение относительно l, называемое характеристическим. Чтобы вычислительная погрешность в расчетной области kt £ T не искажала результат, необходимо, чтобы при любом w во всех узлах выполнялось неравенство

| | = e×|l|^k£ d,

откуда

ln(|l|)£ ln(d/|e|)/k £ ln(d/|e|)t/T.

Положим

c = ln(B/|e|)/T.

Тогда

|l| £ e^ct= 1 + ct + ½ e^cq(ct) ², 0 < q < t.

Усилим неравенство, отбросив в формуле остаточный член. Получим необходимое условие устойчивости Неймана

Константу c можно заранее оценить. Пусть, например, расчет необходимо провести для 0£ t £10с погрешностью 5знаков после запятой. Пусть погрешность, порождаемая вычислениями с округлением, не превосходит 10^–12в каждом узле. Приняв T = 10, e = 10^–12, d = 10^–5, получим

c = ln(10^–5/10^–12)/10 = 1,612.

Если будет выполнено условие Неймана с константой c £ 1,612, начальная погрешность возрастет до величины, не превосходящей 10^–5.

Если характеристическое уравнение не содержит t,условие Неймана

означает, что решение характеристического уравнения должно лежать в единичном круге комплексной плоскости.

При исследовании разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами решается однородное разностное уравнение, граничные условия не используются. Разностная схема задачи Коши с постоянными коэффициентами при h ® 0и t ®0 устойчива,если решение характеристического уравнения при любом w удовлетворяет условию (3.9) или (3.10). Таким образом, для задачи Коши с постоянными коэффициентами условие Неймана является необходимым и достаточным.

Выпишем вспомогательные формулы:

= e lkeiwhm, = e lk+1eiwhm, = e lk-1eiwhm, = e lkeiwh(m+1), = e lkeiwh(m-1),

eiwh = cos(wh) + i sin(wh), cos(wh) = (eiwh + e-iwh)/2, sin(wh) = (eiwh + e-iwh)/(2i), 1 - cos(wh) = 2 sin(½ wh), sin(wh) = 2 sin(½ wh) cos(½ wh).

(3.11)