Дисциплины:
Исследование устойчивости разностных схем задачи переноса
Рассмотрим разностные схемы, отвечающие шаблонам, представленным в таблице 2.
Разностная схема, составленная по шаблону №1 «левый явный уголок», имеет вид
=0,
где a – «замороженное» значение коэффициента в узле (m, k). Положим r = at/h.
Подставим 
= e lkeiwhm и сократим общий множитель. Получим характеристическое уравнение
l - 1 + r (1 - e-iwh) = 0.
Нетрудно заметить, что характеристическое уравнение получается заменой индексированных величин в представлении погрешности решения степенями l и eiwh в соответствии с отклонениями индексов от k и m.
Решением характеристического уравнения является множество точек комплексной плоскости, принадлежащих окружности, изображенной на рис. 6a,b пунктиром,
|l - (1 - r)| = r.
Поскольку характеристическое уравнение не зависит от t, согласно условию Неймана (3.10) любое решение характеристического уравнения должно лежать в единичном круге, затененном на рис. 6. При r £ 1окружность целиком лежит в единичном круге (рис. 6a), схема задачи Коши с постоянными коэффициентами устойчива. При r > 1окружность лежит вне единичного круга (рис. 6b), схема неустойчива.
a
| 
b
Рис. 6
| 
c
|
Итак, получено условие устойчивости at £ h задачи Коши с постоянными коэффициентами. Запишем его для всех внутренних узлов
t £ h, 1 £ m £ M-1, 1 £ k £ K-1
и решим полученную систему неравенств. Поскольку £ ||a||, все неравенства будут выполнены при ||a||t £ h. Необходимое условие устойчивости разностной схемы задачи переноса, использующей шаблон №1, имеет вид
| t £ h/||a||. | (3.12) |
Для получения характеристического уравнения разностной схемы шаблона №2 «правый явный уголок» используем подмеченное правило замены индексированных величин степенями l и eiwh в соответствии с отклонениями индексов от k и m
l - 1 + r (eiwh - 1) = 0.
Решением уравнения является множество точек комплексной плоскости, составляющих окружность
|l - (1 + r)| = r
с центром в точке 1 + r и радиуса r (рис. 6c). Поскольку окружность лежит вне единичного круга, схема неустойчива, что согласуется с выводом, полученным по условию КФЛ.
Шаблону №3 «левый неявный уголок» отвечает характеристическое уравнение
l - 1 + rl (1 - e-iwh) = 0
с решением l = 1/(1 + r - re-iwh).Поскольку всегда
|1 + r - re-iwh|2 = (1 + r - r cos(wh))2 + (r sin(wh))2 =
= (1 + r)2 - 2r(1 + r)cos(wh) + r2= 1 + 4r(1 + r)sin2(½wh)³ 1,
схема задачи Коши с постоянными коэффициентами абсолютно устойчива и никаких дополнительных условий не доставляет.
Схема с шаблоном №4 «правый неявный уголок» имеет характеристическое уравнение
l - 1 + rl (eiwh - 1) = 0
с решением l = 1/(1 - r + reiwh). Имеем
|1 - r + reiwh|2 = (1 - r + r cos(wh))2 + (r sin(wh))2 =
= 1 - 4r(1 - r) sin2(½wh).
При r ³1решение лежит внутри единичного круга, при r <1 – вне. При at ³ h схема задачи Коши условно устойчива. Запишем неравенство для каждого узла и решим систему неравенств. Получим необходимое условие устойчивости
t ³ h/||a-1||.
Схема с шаблоном №5 «квадрат» имеет характеристическое уравнение
(l - 1)(1 – e-iwh) + r (l + 1)(1 – e-iwh) = 0.
Используем формулы (3.11)
(l - 1) cos(½wh) + i r (l + 1) sin(½wh) = 0.
Решение
l = 
удовлетворяет условию Неймана (3.10), поскольку |l| = 1. Схема задачи Коши абсолютно устойчива и никаких новых условий не добавляет.
Характеристическое уравнение схемы Лакса (шаблон №6)
= 0
после преобразования по соотношениям (3.11) получает форму
l - cos(wh) + i r sin(wh) = 0.
Имеем
| l|2 = cos2(wh) + r2 sin2(wh) = 1 – (1 – r2)sin2(wh).
При r = |a|t/h £ 1 схема задачи Коши условно устойчива, что соответствует условию (3.12).
Характеристическое уравнение схемы с шаблоном №7 «явный треугольник»
l - 1 + ½ r (eiwh - e-iwh) = 0
имеет решение l = 1 – i r sin(wh).Поскольку
|l|2= 1 + r2sin2(wh)³ 1,
схема неустойчива. Заметим, что условие КФЛ при r £ 1 для схемы выполнено.
На сетке с соотношением шагов t £(h/a)2
|l| £ 
£ 1 + ½ t
выполняется условие Неймана (3.9) с константой c = ½. По принципу замороженных коэффициентов получим условие устойчивости t £(h/||a||)2.
Неявная схема с шаблоном №8 «неявный треугольник» имеет характеристическое уравнение
l - 1 + ½ r l (eiwh - e-iwh) = 0
с решением l = 1/(1 + i r sin(wh)). Поскольку
|1 + i r sin(wh)|2= 1 + r2sin2wh ³ 1,
схема задачи Коши абсолютно устойчива и не приводит к дополнительным условиям.
Разностная схема шаблона №9 «левый треугольник» имеет квадратное характеристическое уравнение
l - 1/l + 2r (1 - e-iwh) = 0.
Произведем замену m = il. Для корней уравнения
m2+ 2i r (1 - e-iwh)m + 1 = 0
по теореме Виета имеем
m1 + m2 = -2i r (1 - e-iwh), m1m2 = 1.
Представим корень уравнение в показательной форме m1 = r eij, где r –модуль, j – аргумент комплексного числа. Из теоремы Виета вытекает m2 = r-1e-ij. Ясно, что r ¹ 1, поскольку сумма корней не может быть вещественным числом при любом w. Итак, один из корней по модулю больше 1. Так как |l| = |m|, схема неустойчива. Заметим, что при r £ 1для этой схемы выполняется условие КФЛ.
Схема с шаблоном №7 «правый треугольник» имеет характеристическое уравнение
l - 1/l + 2r (eiwh - 1) = 0.
Повторяя рассуждения предыдущего пункта, устанавливаем неустойчивость схемы, что согласуется с выводом, полученным по условию КФЛ.
Характеристическое уравнение схемы с шаблоном №11 «крест»
l - 1/l + r (eiwh - e-iwh) = 0
после подстановки m = il приводится к квадратному уравнению
m2- 2rm sin(wh) + 1 = 0
с дискриминантом D = r2sin2(wh) - 1. При r2£ 1уравнение имеет комплексно сопряженные или кратные вещественные корни с модулем 1. При r > 1 корни вещественные и один по абсолютной величине больше 1. Схема задачи Коши устойчива при t £ h/|a|. Согласно принципу замороженных коэффициентов получим необходимое условие устойчивости (3.12).
Итак, применение условия Неймана позволило установить, что из 11 шаблонов разностных схем задачи переноса три (№2, 9, 10) приводят к неустойчивым разностным схемам, пять (№1, 4, 6, 7, 11) порождают условно устойчивые схемы, и для трех (№3, 5, 8) не выявило ограничений. Условие устойчивости схемы шаблона №7 настолько ограничительно, что делает схему практически не пригодной для применения. При фиксированном значении h разностная схема шаблона №4 также мало пригодна для практического использования. Заметим, что неустойчивость разностных схем шаблонов №2, 10, как и условная устойчивость всех перечисленных схем, установлена также по условию КФЛ.
Анализируя результаты исследования устойчивости задачи Коши с постоянными коэффициентами, приходим к следующему заключению. Абсолютно устойчивы только неявные схемы. Явная схема может быть только условно устойчивой. Это вывод будет подтвержден в дальнейшем при исследовании задачи теплопроводности и волновой задачи.