Главная Обратная связь

Дисциплины:






Исследование устойчивости разностных схем задачи переноса



Рассмотрим разностные схемы, отвечающие шаблонам, представленным в таблице 2.

Разностная схема, составленная по шаблону №1 «левый явный уголок», имеет вид

=0,

где a – «замороженное» значение коэффициента в узле (m, k). Положим r = at/h.

Подставим = e lkeiwhm и сократим общий множитель. Получим характеристическое уравнение

l - 1 + r (1 - e-iwh) = 0.

Нетрудно заметить, что характеристическое уравнение получается заменой индексированных величин в представлении погрешности решения степенями l и eiwh в соответствии с отклонениями индексов от k и m.

Решением характеристического уравнения является множество точек комплексной плоскости, принадлежащих окружности, изображенной на рис. 6a,b пунктиром,

|l - (1 - r)| = r.

Поскольку характеристическое уравнение не зависит от t, согласно условию Неймана (3.10) любое решение характеристического уравнения должно лежать в единичном круге, затененном на рис. 6. При r £ 1окружность целиком лежит в единичном круге (рис. 6a), схема задачи Коши с постоянными коэффициентами устойчива. При r > 1окружность лежит вне единичного круга (рис. 6b), схема неустойчива.

 
 

 

 


a

 

      b Рис. 6     c  

 

Итак, получено условие устойчивости at £ h задачи Коши с постоянными коэффициентами. Запишем его для всех внутренних узлов

t £ h, 1 £ m £ M-1, 1 £ k £ K-1

и решим полученную систему неравенств. Поскольку £ ||a||, все неравенства будут выполнены при ||a||t £ h. Необходимое условие устойчивости разностной схемы задачи переноса, использующей шаблон №1, имеет вид

t £ h/||a||. (3.12)

Для получения характеристического уравнения разностной схемы шаблона №2 «правый явный уголок» используем подмеченное правило замены индексированных величин степенями l и eiwh в соответствии с отклонениями индексов от k и m

l - 1 + r (eiwh - 1) = 0.

Решением уравнения является множество точек комплексной плоскости, составляющих окружность

|l - (1 + r)| = r

с центром в точке 1 + r и радиуса r (рис. 6c). Поскольку окружность лежит вне единичного круга, схема неустойчива, что согласуется с выводом, полученным по условию КФЛ.

Шаблону №3 «левый неявный уголок» отвечает характеристическое уравнение

l - 1 + rl (1 - e-iwh) = 0

с решением l = 1/(1 + r - re-iwh).Поскольку всегда

|1 + r - re-iwh|2 = (1 + r - r cos(wh))2 + (r sin(wh))2 =

= (1 + r)2 - 2r(1 + r)cos(wh) + r2= 1 + 4r(1 + r)sin2wh)³ 1,



схема задачи Коши с постоянными коэффициентами абсолютно устойчива и никаких дополнительных условий не доставляет.

Схема с шаблоном №4 «правый неявный уголок» имеет характеристическое уравнение

l - 1 + rl (eiwh - 1) = 0

с решением l = 1/(1 - r + reiwh). Имеем

|1 - r + reiwh|2 = (1 - r + r cos(wh))2 + (r sin(wh))2 =

= 1 - 4r(1 - r) sin2wh).

При r ³1решение лежит внутри единичного круга, при r <1вне. При at ³ h схема задачи Коши условно устойчива. Запишем неравенство для каждого узла и решим систему неравенств. Получим необходимое условие устойчивости

t ³ h/||a-1||.

Схема с шаблоном №5 «квадрат» имеет характеристическое уравнение

(l - 1)(1 – e-iwh) + r (l + 1)(1 – e-iwh) = 0.

Используем формулы (3.11)

(l - 1) cos(½wh) + i r (l + 1) sin(½wh) = 0.

Решение

l =

удовлетворяет условию Неймана (3.10), поскольку |l| = 1. Схема задачи Коши абсолютно устойчива и никаких новых условий не добавляет.

Характеристическое уравнение схемы Лакса (шаблон №6)

= 0

после преобразования по соотношениям (3.11) получает форму

l - cos(wh) + i r sin(wh) = 0.

Имеем

| l|2 = cos2(wh) + r2 sin2(wh) = 1 – (1 – r2)sin2(wh).

При r = |a|t/h £ 1 схема задачи Коши условно устойчива, что соответствует условию (3.12).

Характеристическое уравнение схемы с шаблоном №7 «явный треугольник»

l - 1 + ½ r (eiwh - e-iwh) = 0

имеет решение l = 1 – i r sin(wh).Поскольку

|l|2= 1 + r2sin2(wh)³ 1,

схема неустойчива. Заметим, что условие КФЛ при r £ 1 для схемы выполнено.

На сетке с соотношением шагов t £(h/a)2

|l| £ £ 1 + ½ t

выполняется условие Неймана (3.9) с константой c = ½. По принципу замороженных коэффициентов получим условие устойчивости t £(h/||a||)2.

Неявная схема с шаблоном №8 «неявный треугольник» имеет характеристическое уравнение

l - 1 + ½ r l (eiwh - e-iwh) = 0

с решением l = 1/(1 + i r sin(wh)). Поскольку

|1 + i r sin(wh)|2= 1 + r2sin2wh ³ 1,

схема задачи Коши абсолютно устойчива и не приводит к дополнительным условиям.

Разностная схема шаблона №9 «левый треугольник» имеет квадратное характеристическое уравнение

l - 1/l + 2r (1 - e-iwh) = 0.

Произведем замену m = il. Для корней уравнения

m2+ 2i r (1 - e-iwh)m + 1 = 0

по теореме Виета имеем

m1 + m2 = -2i r (1 - e-iwh), m1m2 = 1.

Представим корень уравнение в показательной форме m1 = r eij, где r –модуль, j – аргумент комплексного числа. Из теоремы Виета вытекает m2 = r-1e-ij. Ясно, что r ¹ 1, поскольку сумма корней не может быть вещественным числом при любом w. Итак, один из корней по модулю больше 1. Так как |l| = |m|, схема неустойчива. Заметим, что при r £ 1для этой схемы выполняется условие КФЛ.

Схема с шаблоном №7 «правый треугольник» имеет характеристическое уравнение

l - 1/l + 2r (eiwh - 1) = 0.

Повторяя рассуждения предыдущего пункта, устанавливаем неустойчивость схемы, что согласуется с выводом, полученным по условию КФЛ.

Характеристическое уравнение схемы с шаблоном №11 «крест»

l - 1/l + r (eiwh - e-iwh) = 0

после подстановки m = il приводится к квадратному уравнению

m2- 2rm sin(wh) + 1 = 0

с дискриминантом D = r2sin2(wh) - 1. При r2£ 1уравнение имеет комплексно сопряженные или кратные вещественные корни с модулем 1. При r > 1 корни вещественные и один по абсолютной величине больше 1. Схема задачи Коши устойчива при t £ h/|a|. Согласно принципу замороженных коэффициентов получим необходимое условие устойчивости (3.12).

Итак, применение условия Неймана позволило установить, что из 11 шаблонов разностных схем задачи переноса три (№2, 9, 10) приводят к неустойчивым разностным схемам, пять (№1, 4, 6, 7, 11) порождают условно устойчивые схемы, и для трех (№3, 5, 8) не выявило ограничений. Условие устойчивости схемы шаблона №7 настолько ограничительно, что делает схему практически не пригодной для применения. При фиксированном значении h разностная схема шаблона №4 также мало пригодна для практического использования. Заметим, что неустойчивость разностных схем шаблонов №2, 10, как и условная устойчивость всех перечисленных схем, установлена также по условию КФЛ.

Анализируя результаты исследования устойчивости задачи Коши с постоянными коэффициентами, приходим к следующему заключению. Абсолютно устойчивы только неявные схемы. Явная схема может быть только условно устойчивой. Это вывод будет подтвержден в дальнейшем при исследовании задачи теплопроводности и волновой задачи.

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...