Главная Обратная связь

Дисциплины:






Исследование устойчивости разностных схем задачи теплопроводности



Исследуем устойчивость разностных схем задачи теплопроводности, используя условие Неймана. Схема с шаблоном №7 таб. 2 «явный треугольник» имеет вид

- a = 0.

Положим r = at/h2. С учетом подмеченного правила сдвига показателей степени получим характеристическое уравнение

l - 1 - r (eiwh - 2 + e-iwh) = 0

с вещественным решением l = 1 - 4r sin2wh). Условие Неймана (3.10)

-1£1 - 4r sin2wh) £1

выполняется при r £ ½ . Схема задачи Коши устойчива при условии at £ ½ h2. По принципу замороженных коэффициентов получим необходимое условие устойчивости

t £½h2/||a||. (3.13)

У неявной схемы с шаблоном № 8 «неявный треугольник» характеристическое уравнение

l - 1 - r (eiwh - 2 + e-iwh) l = 0

имеет решение l = 1/[1 + 4r sin2wh)]. Схема задачи Коши абсолютно устойчива и не приводит к дополнительным условиям.

Характеристическое уравнение схемы с шаблоном №11 таб. 2 «крест»

l - 1/l - 2r (eiwh - 2 + e-iwh) l = 0

после подстановки m = il приводится к квадратному уравнению

m2+ i 8rm sin2wh) + 1 = 0.

По теореме Виета уравнение имеет комплексные корни m1 = r eij, m2 = r-1e-ij (r – модуль, j – аргумент). Поскольку сумма корней – комплексное число, корни не могут быть сопряженными, r ¹1. Модуль одного корня больше единицы, схема неустойчива.

Однородное разностное уравнение схемы Кранка - Никольсона (шаблон №12 таб. 2)

=0

имеет характеристическое уравнение

l - 1 - ½ r[(eiwh - 2 + e-iwh) l + (eiwh - 2 + e-iwh)]= 0

с вещественным решением

l = .

Условие Неймана (3.10) всегда выполнено, схема абсолютно устойчива.

Итак, из четырех шаблонов разностных схем задачи теплопроводности шаблон №11 приводит к неустойчивой схеме, №7 – к условно устойчивой схеме. Для шаблонов №8, 12 ограничений не найдено. Заметим, что схема шаблона №7 имеет весьма жесткие ограничения по устойчивости. Шаблон №8 порождает схему второго порядка аппроксимации по h и первого по t. Схема шаблона №12 второго порядка аппроксимации по h и t.

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...