Дисциплины:
Исследование устойчивости разностных схем задачи теплопроводности
Исследуем устойчивость разностных схем задачи теплопроводности, используя условие Неймана. Схема с шаблоном №7 таб. 2 «явный треугольник» имеет вид
- a 
= 0.
Положим r = at/h2. С учетом подмеченного правила сдвига показателей степени получим характеристическое уравнение
l - 1 - r (eiwh - 2 + e-iwh) = 0
с вещественным решением l = 1 - 4r sin2(½wh). Условие Неймана (3.10)
-1£1 - 4r sin2(½wh) £1
выполняется при r £ ½ . Схема задачи Коши устойчива при условии at £ ½ h2. По принципу замороженных коэффициентов получим необходимое условие устойчивости
| t £½h2/||a||. | (3.13) |
У неявной схемы с шаблоном № 8 «неявный треугольник» характеристическое уравнение
l - 1 - r (eiwh - 2 + e-iwh) l = 0
имеет решение l = 1/[1 + 4r sin2(½wh)]. Схема задачи Коши абсолютно устойчива и не приводит к дополнительным условиям.
Характеристическое уравнение схемы с шаблоном №11 таб. 2 «крест»
l - 1/l - 2r (eiwh - 2 + e-iwh) l = 0
после подстановки m = il приводится к квадратному уравнению
m2+ i 8rm sin2(½wh) + 1 = 0.
По теореме Виета уравнение имеет комплексные корни m1 = r eij, m2 = r-1e-ij (r – модуль, j – аргумент). Поскольку сумма корней – комплексное число, корни не могут быть сопряженными, r ¹1. Модуль одного корня больше единицы, схема неустойчива.
Однородное разностное уравнение схемы Кранка - Никольсона (шаблон №12 таб. 2)
=0
имеет характеристическое уравнение
l - 1 - ½ r[(eiwh - 2 + e-iwh) l + (eiwh - 2 + e-iwh)]= 0
с вещественным решением
l = 
.
Условие Неймана (3.10) всегда выполнено, схема абсолютно устойчива.
Итак, из четырех шаблонов разностных схем задачи теплопроводности шаблон №11 приводит к неустойчивой схеме, №7 – к условно устойчивой схеме. Для шаблонов №8, 12 ограничений не найдено. Заметим, что схема шаблона №7 имеет весьма жесткие ограничения по устойчивости. Шаблон №8 порождает схему второго порядка аппроксимации по h и первого по t. Схема шаблона №12 второго порядка аппроксимации по h и t.