Главная Обратная связь

Дисциплины:






Исследование устойчивости разностных схем с граничными условиями



Перейдем к рассмотрению одномерных граничных задач критерия Гельфанда – Бабенко. При граничном условии

с учетом сдвига границы расчетной области и однородности граничных условий для du(ht) получим разностное краевое условие

, k > 0.

Преобразуем его к виду

, k > 0.

При условии Дирихле u(0,t) = g0(t) разностное краевое условие имеет вид

= 0, k > 0.

Объединим оба варианта одной формулой

, k > 0,

где g0 принимает значения 0 или 1, при условии Дирихле s0 = 1.

Аналогично выводится правое разностное краевое условие

, k > 0.

В соответствии с принципом замороженных коэффициентов имеем на левом конце задачу (3.7)

+ Lht(du(ht)) = 0, 0 < m < +¥, kt £ T,

, …kt £ T,

du(ht) = e(h), 0 £ m < +¥, k = 0,

|du(ht)| ®0при m ® +¥;

на правом – задачу (3.8)

+ Lht(du(ht)) = 0, -¥ < m < M, kt £ T,

, kt £ T,

du(ht) = e(h), -¥ < m < M, k = 0,

|du(ht)| ®0при m ® -¥.

Здесь s0 и s1 - постоянные («замороженные») значения s на левом и правом концах отрезка [0, l].

Начальные возмущения, порождаемые граничными условиями, будем задавать в виде em = e qm, ||e(h)|| = e, а решение задачи искать в форме

= e lkqm.

Условие |du(ht)| ®0при m ® +¥ задачи (3.7) приводит к неравенству |q| < 1, аналогичное условие |du(ht)| ®0при m ® -¥ задачи (3.8) - к неравенству |q| > 1. В итоге получим задачу (3.7) в виде

+ Lht(du(ht)) = 0, 0 < m < +¥, kt £ T,

e lk(1 – ) = 0, …kt £ T,

|q| < 1

и задачу (3.8)

+ Lht(du(ht)) = 0, -¥ < m < M, kt £ T,

e lkqM-1(q ) = 0, kt £ T,

|q| > 1.

При g = 0 или при g = 1, s = 0 как задача (3.7), так и задача (3.8) имеют единственное решение l = 0. Задача (3.7) имеет ненулевое решение при g0 = 1, s0<0:

q = < 1;

задача (3.8) имеет ненулевое решение при g1 = 1, s1<0:

q = > 1.

Значение l определяется характеристическим уравнением.

Итак, если на границе задана искомая функция (условие Дирихле) или нормальная производная (условие Неймана), краевое условие не порождает растущих возмущений. Дальнейшему исследованию подлежит смешанное граничное условие, возникающее в задаче теплопроводности и в волновой задаче.

Рассмотрим разностные уравнения этих задач для шаблонов таблицы 2. Заметим, что вторая разностная производная после подстановки = e lkqm принимает вид

,

где a – «замороженное» значение коэффициента в граничном узле, и обозначим

Q = .

На левой границе имеем

q = , Q = , s0<0;

на правой границе

q = , Q = s1<0.



Таким образом, две задачи (3.7) и (3.8) приводятся к одной.

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...