Главная Обратная связь

Дисциплины:






Исследование граничных условий задачи теплопроводности



Однородное разностное уравнение (шаблон №7 «явный треугольник» таб. 2) имеет вид (коэффициенты a и s «заморожены»)

= 0.

Положим r = at/h2. После подстановки = e lkqm получим

l – 1 – Qt = 0.

Условие Неймана (3.9) на данной сетке будет выполнено при выполнении неравенства Q £ c. Подставив значение Q, при условии s < 0 найдем

s ³ .

Согласно принципу замороженных коэффициентов данное условие должно выполняться во всех граничных узлах, где s < 0.

s(x*, t , x* = {0, l}, 0 £ t £ T. (3.15)

Выполнение в каждой точке границы неравенства (3.15), где c – константа в условии Неймана (3.9), является необходимым условием устойчивости разностной схемы наряду с полученным ранее условием (3.13).

Однородное разностное уравнение теплопроводности схемы «неявный треугольник» (шаблон №8 таб. 2) после подстановки = e lkqm принимает вид

l – 1 –t Ql = 0,

откуда

l = 1 + t Q/(1 – t Q).

Для данной разностной схемы условие Неймана выполнено, если

Q/(1 – t Q) £ c.

Подставив значение Q, найдем

s ³ .

В соответствии с принципом замороженных коэффициентов распространим это условие на все узлы границы. Выполнение в каждой граничной точке неравенства

s(x*, t , x* = {0, l}, 0 £ t £ T. (3.16)

где c – константа в условии Неймана (3.9), является необходимым условием устойчивости разностной схемы.

Однородное разностное уравнение теплопроводности шаблонf №12 таб. 2 после подстановки = e lkqm приводится к виду

l – 1 – t Q(l + 1) = 0,

откуда находим

l = 1 + t Q/(1 – Qt),

Для данной разностной схемы условие Неймана выполнено, если

Q/(1 – Qt) £ c.

Подставив значение Q, найдем

s ³ .

В соответствии с принципом замороженных коэффициентов распространим это условие на все узлы границы. Выполнение в каждой граничной точке неравенства

s(x*, t , x* = {0, l}, 0 £ t £ T. (3.17)

где c – константа в условии Неймана (3.9), является необходимым условием устойчивости разностной схемы.

Критерий Гельфанда – Бабенко дает асимптотически необходимые условия устойчивости. Предельным переходом при h ® 0 и t ® 0 из (3.15), (3.16) и (3.17) получим условие

s(x*, t , x* = {0, l}, 0 £ t £ T. (3.18)

Заметим, что неравенства (3.15), (3.16) и (3.17) ставят более жесткие условия для значений s(x*, t), чем предельное условие (3.18).


 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...