Дисциплины:
Исследование граничных условий задачи теплопроводности
Однородное разностное уравнение (шаблон №7 «явный треугольник» таб. 2) имеет вид (коэффициенты a и s «заморожены»)
= 0.
Положим r = at/h2. После подстановки 
= e lkqm получим
l – 1 – Qt = 0.
Условие Неймана (3.9) на данной сетке будет выполнено при выполнении неравенства Q £ c. Подставив значение Q, при условии s < 0 найдем
s ³ 
.
Согласно принципу замороженных коэффициентов данное условие должно выполняться во всех граничных узлах, где s < 0.
s(x*, t)³  , x* = {0, l}, 0 £ t £ T.
| (3.15) |
Выполнение в каждой точке границы неравенства (3.15), где c – константа в условии Неймана (3.9), является необходимым условием устойчивости разностной схемы наряду с полученным ранее условием (3.13).
Однородное разностное уравнение теплопроводности схемы «неявный треугольник» (шаблон №8 таб. 2) после подстановки = e lkqm принимает вид
l – 1 –t Ql = 0,
откуда
l = 1 + t Q/(1 – t Q).
Для данной разностной схемы условие Неймана выполнено, если
Q/(1 – t Q) £ c.
Подставив значение Q, найдем
s ³ 
.
В соответствии с принципом замороженных коэффициентов распространим это условие на все узлы границы. Выполнение в каждой граничной точке неравенства
s(x*, t)³  , x* = {0, l}, 0 £ t £ T.
| (3.16) |
где c – константа в условии Неймана (3.9), является необходимым условием устойчивости разностной схемы.
Однородное разностное уравнение теплопроводности шаблонf №12 таб. 2 после подстановки = e lkqm приводится к виду
l – 1 – 
t Q(l + 1) = 0,
откуда находим
l = 1 + t Q/(1 – 
Qt),
Для данной разностной схемы условие Неймана выполнено, если
Q/(1 – Qt) £ c.
Подставив значение Q, найдем
s ³ 
.
В соответствии с принципом замороженных коэффициентов распространим это условие на все узлы границы. Выполнение в каждой граничной точке неравенства
s(x*, t)³  , x* = {0, l}, 0 £ t £ T.
| (3.17) |
где c – константа в условии Неймана (3.9), является необходимым условием устойчивости разностной схемы.
Критерий Гельфанда – Бабенко дает асимптотически необходимые условия устойчивости. Предельным переходом при h ® 0 и t ® 0 из (3.15), (3.16) и (3.17) получим условие
s(x*, t)³  , x* = {0, l}, 0 £ t £ T.
| (3.18) |
Заметим, что неравенства (3.15), (3.16) и (3.17) ставят более жесткие условия для значений s(x*, t), чем предельное условие (3.18).