Главная Обратная связь

Дисциплины:






Исследование граничных условий волновой задачи



Однородное разностное волновое уравнение схемы «крест» (шаблон №11 таб. 2) после подстановки = e lkqm приводится к виду

l – 2 + 1/l Qt2 = 0.

Квадратное уравнение

l22(1 + Qt2)l + 1 = 0

имеет положительный дискриминант

D = t2

и два положительных корня. Наибольший из корней равен

l = 1 + t.

Для данной разностной схемы условие Неймана выполнено, если

£ c.

Умножим неравенство на выражение, сопряженное скобке (оно отрицательно, поэтому знак неравенства заменяется противоположным)

- ³ c ,

и решим полученную систему неравенств

Qt £ c - Q/c.

Подставив значение Q, найдем

s ³ .

В соответствии с принципом замороженных коэффициентов распространим это условие на все граничные узлы. Выполнение в каждой точке границы неравенства

s(x*, t , x* = {0, l}, 0 £ t £ T. (3.19)

где c – константа в условии Неймана (3.9), является необходимым условием устойчивости разностной схемы наряду с полученным ранее условием (3.14).

Однородное разностное волновое уравнение схемы шаблон №13 таб. 2 после подстановки = e lkqm приводится к виду

l – 2 + l–1 t2Q t2Q a (l – 2 + l–1) = 0.

При a = ½ разностное уравнение соответствует шаблону №14.

Квадратное уравнение

l22(1 + )l + 1 = 0

имеет положительный дискриминант

D = Q(1 - (a- )Qt2)t2/(1 - at2Q)2

и два положительных корня. Наибольший из корней равен

l = 1 + ( + )/(1 - aQt2)

Для данной разностной схемы условие Неймана выполнено, если

( + )/(1 - aQt2) £ c.

Умножим на выражение, сопряженное скобке числителя

- ³ c( - ).

Знак неравенства заменяется противоположным, поскольку множитель отрицателен. Решим полученную систему неравенств

tQ £ c(1 – at2Q)- Q/c.

Подставив значение Q, найдем

s ³ .

В соответствии с принципом замороженных коэффициентов распространим это условие на все узлы границы. Выполнение в каждой граничной точке неравенства

s(x*, t , x* = {0, l}, t £ T, (3.20)

где c – константа в условии Неймана (3.9), является необходимым условием устойчивости разностной схемы.

Предельным переходом при h ® 0 и t ® 0 из (3.19) и (3.20) получим условие

s(x*, t , x* = {0, l}, 0 £ t £ T. (3.21)

Предельное соотношение (3.21) определяет более мягкие условия для значений s(x*, t), чем неравенства (3.19) и (3.20).

Условия устойчивости разностных схем задачи теплопроводности (3.15) – (3.18) и волновой задачи (3.19) – (3.21) содержат константу c из условия Неймана (3.9). Значение константы c можно заранее оценить. Современные вычислительные системы позволяют с помощью процедуры двойной точности значительно увеличить значение c. При этом увеличивается различие между неравенствами (3.15) – (3.17), (3,19), (3.20) и соответствующими предельными неравенствами (3.18) и (3.21). Разностная схема, удовлетворяющая предельному условию, реально может оказаться неустойчивой.



 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...