Главная Обратная связь

Дисциплины:






Спектральный критерий устойчивости Неймана



Рассмотрим двухслойную разностную схему

+ L(uk) = f k, u0= j,

аппроксимирующую параболическую задачу (2.17). Пусть оператор L не зависит от времени, симметричен и положительно определен. Тогда L при положительном спектре

Sp(L) = {l1, l2, …, lr}, l1> l2> …> lr > 0

имеет полную систему собственных векторов, составляющих ортонормированный базис

L(ei) = li ei, (ei, ej) = dij,

где dij – символ Кронекера.

Разрешим схему относительно неизвестного

uk+1 = (E + t L)(uk) + t f k, u0= j,

и представим векторы разложением по базису

uk = , fk = , jk = , (4.5)

где = (uk,en), = (fk,en), jn = (j,en). Подставив суммы в уравнение, в силу единственности разложения по базису найдем

= (1 – t ln) + , = jn.

Последовательным исключением неизвестных получим решение

= (1 – t ln)kjn + .

Из равенства следует, что при t ³ 0

| | £ |mn|k|jn| + , mn = 1 – t ln.

Усилим неравенство, заменив под знаком суммы на

| fn| = .

| | £ |mn|k |jn| + t | fn|. (4.6)

Спектральный критерий устойчивости Неймана состоит в следующем.

Определение 4.8. Если для каждого коэффициента имеет место соотношение

| | £ C1n |jn| + C2nt | fn|, (4.7)

и константы C1n, C2n не зависят от t, то разностная схема устойчива.

Действительно, при выполнении условия (4.7) имеем

||uk||2 = (uk, uk) = =

= .

Из неравенства Коши – Буняковского

.

вытекает

||uk|| £ .

Пусть C1 = , C2 = . Поскольку

| fn | = ,

получим при t < 1

||uk|| £ =

= C1||j|| + £ C1||j|| + C2||f||,

где || f || = . В расчетной области kt £ T и полученное неравенство совпадает с условием устойчивости 4.6.

Из (4.6) следует, что условие устойчивости выполнено, если

|mn| £ 1,

для всех ln ÎSpL. В этом случае соотношение (4.6) переходит в следующее

| | £ |jn| + kt | fn|.

Раскрывая неравенство |mn| £ 1

–1 £ 1 - tl1£ 1 - tln £ 1 - tlr £ 1,

получим достаточное условие устойчивости

t £ .

Аналогичным образом для неявной разностной схемы первого порядка аппроксимации по t

+ L(uk+1) = f k+1, u0= j,

где f k+1 = f(tk+1), получим оценку

| | £ |mn|k|jn| + t |mn|| fn|, mn = .

Для схемы Кранка – Николсона

+ L( ) = f k, u0= j,

где f k = f(tk+½), оценка имеет вид

| | £ |mn|k|jn| + t |rn|| fn|, mn = , rn = .

Для всех lnÎSpL имеем |mn| £ 1, обе схемы абсолютно устойчивы.

Поскольку для симметричного положительно определенного оператора спектральная норма равна наибольшему собственному значению оператора L, для двухслойной схемы спектральный критерий приводит к тому же условию устойчивости, что и принцип максимума.



Рассмотрим явную разностную схему

u0 = j, = y + ½ t (f0L(j)),

аппроксимирующую гиперболическую задачу (2.17). По-прежнему считаем, что оператор L не зависит от времени, симметричен и положительно определен. Для компонент векторов (4.5) в ортонормированном базисе оператора L получим систему

, .

Введем вспомогательную переменную

и запишем разностную схему в виде

= + ,

= – t ln + + t ,

, .

Система уравнений определяет в двумерном пространстве линейный оператор Tn: R2 ® R2. В обозначениях

Tn = , = , =

разностная схема представляется матричной записью

= Tn + t . (4.8)

Последовательным исключением неизвестных найдем решение

= . (4.9)

Характеристическое уравнение оператора Tn

m2– 2(1 – ½ t2ln)m + 1 = 0

имеет дискриминант

D = t2ln(1 – ¼ t2ln).

При положительном дискриминанте уравнение имеет два действительных корня, причем один из них больше 1. Схема неустойчива.

При 1 – ¼ t2ln > 0 матрица Tn имеет два m и комплексно сопряженных собственных значения с модулем 1 и соответственно два собственных вектора (1, a) и (1, ). Здесь черта обозначает комплексно сопряженное значение. В базисе из собственных векторов оператор Tn представляется диагональной матрицей diag(m, ), а в исходном базисе – произведением

Tn = S diag(m, ) S-1,

где S–матрица перехода к базису из собственных векторов. Подставив степени оператора

= S diag(m j, j) S-1

в решение (4.9), найдем значение .

Представим m и a в алгебраической и показательной форме

m = = eiq, q = arg(m),

a = , a = arg(a).

Здесь i - мнимая единица. Имеют место равенства

sin(q) = ,

cos(a) = .

Составим матрицу перехода S, обратную матрицу S-1

S = , S-1 = ,

det(S) = ,

и вычислим степень оператора

= .

Выполнив действия в комплексной арифметике, найдем

.

Теперь решение (4.9) можно представить в матричном виде

+

+ ,

где . Выполнив действия в матричной арифметике, получим

+ . (4.10)

Производная

в точках экстремума q = q0 обращается в нуль. Следовательно,

.

Оценим решение

+ £

£ .

Для всех kt £ T получим неравенство

£ , (4.11)

совпадающее с условием (4.7).

Рассмотрим предельный случай

1 – ¼ t2ln = 0.

Оператор

Tn =

имеет кратное собственное значение m = –1 и единственный собственный вектор (t, 2).В базисе, задаваемом матрицей перехода

S = , S1 = ,

оператор приводится к виду S1TnS

S1Tn S = = .

По индукции доказывается равенство

.

Вычислим степень оператора

=

Решение (4.9) представляется матричным равенством

= +

+ ,

где . Выполнив вычисления, получим

.

Проведем оценку решения

£

£ .

И в этом случае неравенство (4.11) остается верным.

Итак, разностная схема устойчива при выполнении для наибольшего собственного значения l1 оператора L неравенства

1 – ¼ t2l1 ³ 0,

откуда вытекает достаточное условие устойчивости

. (4.12)

Устойчивость по Нейману основана на анализе спектра оператора задачи. Спектральный критерий устанавливает устойчивость решения по отношению к каждой гармонике. При таком подходе необходимо вычислять или оценивать сверху максимальное собственное число задачи.

Рассмотрим неявную разностную схему Кранка – Николсона

= f k,

u0 = j, = y + ½ t (f0L(j)),

где оператор L не зависит от времени, симметричен и положительно определен, а функции jи y допускают достаточную гладкость решения. На гладком решении разностное уравнение аппроксимирует исходную задачу со вторым порядком по t.

После разложения (4.5) по ортонормированному базису оператора L разностная задача принимает вид

= + ,

= , rn = ,

, .

В обозначениях

Tn = , = , =

разностная схема представляется матричной записью (4.8). Характеристическое уравнение оператора Tn

m22m/(1–½ t 2rn) + 1 = 0

при любом t имеет отрицательный дискриминант

D = t 2rn (1–¼ t 2rn)= < 0.

Собственные значения оператора комплексно сопряжены и по модулю равны единице. Решение имеет вид (4.10) с заменой ln и (k>0) соответственно на rn и .

+ .

Значение q определено собственным вектором оператора Tn. Поскольку rn < ln, приходим к оценке (4.11). Схема абсолютно устойчива.

Если оператор Lk зависит от времени, условия устойчивости (4.12) необходимо проверять на каждом шаге. Задача исследования устойчивости неизмеримо усложняется, так как спектр оператора Lk будет изменяться со временем. В этом случае целесообразно строить абсолютно устойчивые разностные схемы. Если схема абсолютно устойчива на каждом шаге при фиксированном значении оператора Lk, то она остается устойчивой в целом, когда оператор L зависит от времени. Поэтому схема Кранка – Николсона гиперболической задачи остается абсолютно устойчивой для симметричного положительно определенного оператора L, зависящего от времени. При тех же условиях неявная разностная схема параболической задачи и двухслойная схема Кранка – Николсона остаются абсолютно устойчивыми, когда оператор L зависит от времени.

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...