Главная Обратная связь

Дисциплины:






Исследование устойчивости квазилинейных задач



Рассмотрим эволюционную разностную задачу

в Dh´Dt,

u(0) = j в Dh

с оператором L, зависящим от времени и решения задачи. Предположим, что оператор L неотрицателен и обладает достаточной гладкостью.

Разностная аппроксимация задачи на основе схемы Кранка – Николсона имеет вид

, u0 = j,

где оператор зададим следующим образом

= Lá ñ, . (4.13)

В угловые скобки заключен список аргументов оператора L.

Применяя формулу Тейлора, получим на решении [u]

=

= ,

где q Î [k, k+1].

Для оценки порядка аппроксимации вычислим невязку

+

+ =

= =

= ,

где , q¢¢ Î [k, k+1]. Поскольку у гладких операторов и [L]k+1/2 аргументы отличаются на величину порядка , имеем

где Ak+1/2 - матрица, имеющая конечный предел при t ® 0.

Итак,

,

аппроксимация оператора L в форме (4.13) обеспечивает второй порядок по t.

Разностную схему можно представить в виде

uk+1 = Tk(uk) + t Sk(fk+1/2),

где Tk = (E + )-1(E - ), Sk = (E + )-1.

Согласно лемме Келлога ||Tk|| £ 1. Выполнен принцип максимума

||uk+1|| £ ||uk|| + t ||fk+1/2||.

Применяя полученное соотношение последовательно, найдем

||uk|| £ ||j|| + kt ||f||, ||f|| = .

Выполнено достаточное условие 4.1, схема устойчива.

Таким образом, принцип максимума 4.7 остается верным для квазилинейных задач. Разностная схема квазилинейной задачи, удовлетворяющая принципу максимума, устойчива.

В примере 4.3 показано, что для схемы Лакса (шаблон №6 таб.2) выполняется принцип максимума. Таким образом, при условии

t £ h/||a||

и достаточной гладкости решения схема Лакса квазилинейной задачи переноса устойчива.

В аналогичных условиях схема «левый явный уголок» (шаблон №1 таб.2) при решении квазилинейной задачи переноса устойчива, поскольку схема удовлетворяет принципу максимума (пример 4.2).

Для квазилинейной задачи теплопроводности при условии

t £

устойчива схема «явный треугольник» (шаблон №7 таб.2), удовлетворяющая принципу максимума (пример 4.4).

Рассмотрим квазилинейную волновую задачу

, 0< x < l, 0< t,

0< t,

u(x, 0) = j(x), = y(x), 0£ x £ l,

a = a(x, t, u) > 0, c = c(x, t, u) ³ 0, s0 = s0(t, u) ³ 0, sl = sl(t, u) ³ 0,

коэффициенты g0 и g1независимо принимают значения 0 или 1.

Разностная схема Кранка – Николсона (шаблон №14 таб. 2), аппроксимирующая волновую задачу со вторым порядком по h и t, имеет вид

,

u0 = j, u0 = j + t y+ ½t2(f0L0(j)).

Здесь Lk = Látk,ukñ –симметричный положительно определенный оператор, зависящий от времени и решения uk. Матрица Lk к моменту вычисления решения на временном слое k+1 известна, ее выражение получено в примере 4.5. По спектральному критерию Неймана разностная схема абсолютно устойчива. Таким образом, спектральный критерий Неймана остается верным для квазилинейных задач гиперболического типа.



Заметим, что для квазилинейной задачи из аппроксимации и устойчивости не вытекает в обязательном порядке сходимость, поскольку предложение 3.3 строго доказано только для линейных задач. Особенностью квазилинейных задач гиперболического типа и задач переноса является появление разрывных решений, что приводит к нарушению предложения 3.3. Поясним проблемы, возникающие при решении квазилинейных задач, на примере задачи переноса

u(x, 0) = 1/(1 + x), u(0, t) = 1, x ³0, t ³0.

Из уравнения характеристик

найдем

u = C1, x – t C1 = C2.

Присоединим граничные условия

t = 0, u = 1/(1 + x), x ³0

и исключим x и t из системы равенств

C1 = 1/(1 + C2), C2³0.

Область решения состоит из двух частей. Слева от характеристики x – t = 0имеем u = 1, справа решение задано неявной функцией u = 1/(1+ x – u t), откуда находим

u(x,t) =

На границе x = t областей имеем

u =

Вдоль прямой x = t решение при t > 1 терпит разрыв.

Для разрывных функций нарушаются оценки аппроксимации, следовательно, разностная схема теряет сходимость.

Возможность появления разрывов необходимо учитывать при численном решении квазилинейных задач. Существуют специальные методы для задач с разрывными решениями.

Метод выделения разрыва состоит в одновременном решении задачи в двух областях, для которых линия разрыва является общей границей. На общей границе возможно появление дополнительных граничных условий.

Метод «размытого скачка» основан на построении разностных схем сквозного счета, сходящихся к точному решению всюду за исключением малой окрестности разрыва.

Для ознакомления с методами решения нелинейных задач следует обратиться к специальной литературе.


 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...