Главная Обратная связь

Дисциплины:






Редукция двумерной задачи



Рассмотрим в области D дифференциальный оператор

L(u) = , a>0, b>0

с условиями на границе дD

где cosa, cosb – направляющие косинусы внешней нормали границы дD, а g принимает значение 0 или 1.При g = 0, s = 1 имеем условие Дирихле, при g = 1, s = 0 – условие Неймана, при s ¹ 0 – смешанное условие. Представим оператор L(u) суммой двух операторов L = L1 + L2,

L1(u) = в D,

на дD,

L2(u) = в D,

на дD.

Скалярное произведение (u, L1(u)) после применения формулы Грина приводится к виду

(u, L1(u)) = .

При однородных граничных условиях g = 0 криволинейный интеграл отличен от нуля только на части границы дD3 со смешанным граничным условием

Таким образом, при c ³ 0 и s ³ 0 имеем (u, L1(u))³0. Если c = 0 и задано условие Неймана на всей границе, то для любой ненулевой функции u = const получим (u, L1(u))=0,т.е. оператор положительно полуопределен, L1 ³ 0. В остальных случаях оператор положительно определен, L1 > 0.

Очевидно, что аналогичный вывод справедлив и для оператора L2. Поскольку L = L1 + L2, имеем L ³0.

Заключим область D в минимальный прямоугольник со сторонами l1, l2, параллельными осям координат. Поскольку оператор и граничные условия не меняются при параллельном переносе осей координат, то без ограничения общности можно считать, что прямоугольник лежит в первом квадранте, а его стороны расположены на осях координат. Построим сетку

xm = mh1, 0 £ m £ M, h1 = l1/M,

yn = nh2, 0 £ n £ N, h2 = l2/N.

Пусть прямая y = yn пересекает границу дD при x = xx, xx = xh1. Будем записывать точку пересечения (xx, yn) в виде (x, n), где x, n – ее координаты в масштабе сетки. На прямой y = yn таких точек не менее двух. Ближайший к точке (x, n) узел обозначим ( , n), назовем граничным и отнесем к дDh. Ясно, что |x - | <½. Ближайший к точке пересечения (x, n) узел, принадлежащий Dh, обозначим (a, n) Î Dh, |x - a| ³½. Аналогично, прямая x = xm пересекает границу дD в точке (m, h) с координатой yh = hh2. Ближайшие к точке (m, h) узлы сетки обозначим (m, ) Î дDh и (m, b) Î дDh,

|h - | <½, |h - b| ³½.

Построим разностную аппроксимацию операторов L1 и L2. Во внутренних узлах (m, n) Î Dh имеем со вторым порядком по h

L1h(u(h)) = ,

L2h(u(h)) = .

а) cosax n > 0       б) cosax n < 0
 
 

 

Рис. 7

Возможные расположения точек (x, n), ( , n) и (a, n) представлены на рис. 7. Граница области выделена двойной линией, граничная точка (x, n) затемнена, стрелка указывает направление внешней нормали к границе дD.



Аппроксимируем граничное условие. Для расположения, изображенного на рис. 7а, имеем cosax n > 0, xx > xa,

.

При cosax n < 0, xx < xa (рис. 7б) получим

.

Запишем граничное условие в виде

, ( , n) Î дDh, (a, n) Î Dh, , , . (5.1)

Поскольку 0£gx n £1 и cosax n и x – a имеют одинаковый знак, то при s ³0 верно неравенство

1 – ³ 0.

Аналогично получим аппроксимацию второго граничного условия

, (m, ) Î дDh, (m,b) Î Dh, , . (5.2)

Здесь при s ³0 так же 1 – ³ 0. Формулы (5.1), (7.2) аппроксимируют граничные условия со вторым порядком по h при g = 0 и первым – при g = 1.

Скалярное произведение (u(h), L1h(u(h))) при однородных граничных условиях (g = 0) распадается на суммы с постоянным значением индекса n, имеющие вид

,

где (a0, n) – внутренний узел, соседний справа к граничному узлу ( , n), а (a1, n) – внутренний узел, соседний слева к граничному узлу ( , n). Поскольку = a0 – 1, = a1 +1, указанная сумма преобразуется к виду

+

+ .

При однородных граничных условиях получим

=

= .

Итак, при c ³ 0 и s ³ 0 имеем (u(h), L1h(u(h))) ³0, т.е. разностный оператор положительно полуопределен, L1h ³0. Повторяя выкладки для скалярного произведения (u(h), L2h(u(h))), установим, что при тех же условиях L2h ³0.

Рассмотрим эволюционную параболическую задачу

, в D´{t > 0},

на дD´{t > 0},

u(x, y, 0) = j(x, y) на D´{t = 0},

где оператор L представим суммой L = L1 + L2и перейдем к разностной аппроксимации задачи по пространственным переменным. При помощи граничных условий (5.1) и (5.2) исключим значения сеточной функции в граничных узлах, а значения во внутренних узлах упорядочим как компоненты вектора u. Получим систему дифференциальных уравнений

+ L(u) = f, u(0) = j, = y при j = 2.

Пусть разностный оператор L является суммой двух неотрицательных операторов

L = L1 + L2, L1³0, L2³0,

где компоненты матриц L1, L2 и L могут зависеть от времени t. Заметим, что согласно предложению 4.7 операторы L1, L2 и L симметричны. В этом случае возможно задачу математической физики свести к последовательному решению более простых задач, эффективно решаемых с помощью ЭВМ.

 

Метод стабилизации

Предположим, что операторы L, L1 и L2 не зависят от времени, а решение задачи обладает необходимой гладкостью. Рассмотрим схему Кранка – Николсона для параболической задачи

(uk+1uk) + ½ L(uk+1+ uk) = f k+1/2, u0= j.

При достаточной гладкости решения схема Кранка – Николсона эквивалентна с точностью до величин второго порядка малости по t разностной задаче

(E + L1)(E + L2)(uk+1uk) + L(uk) = f k+1/2, u0= j

Действительно,

(E + L1)(E + L2) = E + L + ( )2L1L2

и уравнение приводится к виду

(E + ( )2L1L2)(uk+1uk) + ½ L(uk+1+ uk) = f k+1/2,

совпадающему со схемой Кранка – Николсона по порядку аппроксимации.

Используя тождество

(E - L1)(E - L2) = E - L + ( )2L1L2,

преобразуем уравнение

(E + L1)(E + L2)(uk+1) =(E - L1)(E - L2)(uk) + t f k+1/2,

и запишем задачу в виде

(E + L2)(uk+1) = (E + L1)-1(E L1)(E L2)(uk) +

+ t (E + L1)-1(f k+1/2),

u0= j

Перейдем к новой переменой vk= (E + L2)(uk)

vk+1= T(vk) + t (E + L1)-1(E + L2)-1(E + L2)(f k+1/2). (5.3)

где T – оператор шага

T = (E + L1)-1(E L1)(E - L2)(E + L2)-1= T1 T2,

Ta = (E - Lj)(E + L j)-1, j = 1, 2.

Согласно предложениям 4.4 и 4.5 имеем

||(E + Lj)-1|| £1, ||Tj || £1, j = 1, 2.

Оценим норму оператора шага

||T|| £ ||T1||×||T2|| £1

и перейдем в равенстве (5.3) к нормам

||vk+1|| £ ||vk|| + t ||(E + L2)(f k+1/2)||.

Введем обозначение

||vk|| = ||(E + L2)(uk)|| = = ||uk||C2 ,

где C2 = (E + )(E + L2) – положительно определенная матрица. Выражение ||.||C2является энергетической нормой. В данной норме имеет место принцип максимума

||uk+1||C2£ ||uk||C2+ t ||f k+1/2||C2.

Итак, если L1 и L2 не зависят от времени и положительно полуопределены, разностная схема абсолютно устойчива и аппроксимирует дифференциальную задачу со вторым порядком по t.

Разностная схема метода стабилизации допускает удобную реализацию

F k= L(uk) + f k+1/2, (E + L1)(F k+1/2) = F k,

(E + L2)(F k+1) = F k+1/2, uk+1= uk+ t F k+1.

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...