Редукция двумерной задачи

Рассмотрим в области D дифференциальный оператор

L(u) = , a>0, b>0

с условиями на границе дD

где cosa, cosb – направляющие косинусы внешней нормали границы дD, а g принимает значение 0 или 1.При g = 0, s = 1 имеем условие Дирихле, при g = 1, s = 0 – условие Неймана, при s ¹ 0 – смешанное условие. Представим оператор L(u) суммой двух операторов L = L₁ + L₂,

L₁(u) = в D,

на дD,

L₂(u) = в D,

на дD.

Скалярное произведение (u, L₁(u)) после применения формулы Грина приводится к виду

(u, L₁(u)) = .

При однородных граничных условиях g = 0 криволинейный интеграл отличен от нуля только на части границы дD₃ со смешанным граничным условием

Таким образом, при c ³ 0 и s ³ 0 имеем (u, L₁(u))³0. Если c = 0 и задано условие Неймана на всей границе, то для любой ненулевой функции u = const получим (u, L₁(u))=0,т.е. оператор положительно полуопределен, L₁ ³ 0. В остальных случаях оператор положительно определен, L₁ > 0.

Очевидно, что аналогичный вывод справедлив и для оператора L₂. Поскольку L = L₁ + L₂, имеем L ³0.

Заключим область D в минимальный прямоугольник со сторонами l₁, l₂, параллельными осям координат. Поскольку оператор и граничные условия не меняются при параллельном переносе осей координат, то без ограничения общности можно считать, что прямоугольник лежит в первом квадранте, а его стороны расположены на осях координат. Построим сетку

x_m = mh₁, 0 £ m £ M, h₁ = l₁/M,

y_n = nh₂, 0 £ n £ N, h₂ = l₂/N.

Пусть прямая y = y_n пересекает границу дD при x = x_x, x_x = xh₁. Будем записывать точку пересечения (x_x, y_n) в виде (x, n), где x, n – ее координаты в масштабе сетки. На прямой y = y_n таких точек не менее двух. Ближайший к точке (x, n) узел обозначим ( , n), назовем граничным и отнесем к дD_h. Ясно, что |x - | <½. Ближайший к точке пересечения (x, n) узел, принадлежащий D_h, обозначим (a, n) Î D_h, |x - a| ³½. Аналогично, прямая x = x_m пересекает границу дD в точке (m, h) с координатой y_h = hh₂. Ближайшие к точке (m, h) узлы сетки обозначим (m, ) Î дD_h и (m, b) Î дD_h,

|h - | <½, |h - b| ³½.

Построим разностную аппроксимацию операторов L₁ и L₂. Во внутренних узлах (m, n) Î D_h имеем со вторым порядком по h

L_1h(u^(h)) = ,

L_2h(u^(h)) = .

а) cosax n > 0	б) cosax n < 0
Рис. 7

Возможные расположения точек (x, n), ( , n) и (a, n) представлены на рис. 7. Граница области выделена двойной линией, граничная точка (x, n) затемнена, стрелка указывает направление внешней нормали к границе дD.

Аппроксимируем граничное условие. Для расположения, изображенного на рис. 7а, имеем cosa_{x n} > 0, x_x > x_a,

.

При cosa_{x n} < 0, x_x < x_a (рис. 7б) получим

.

Запишем граничное условие в виде

, ( , n) Î дDh, (a, n) Î Dh, , , .

(5.1)

Поскольку 0£g_{x n} £1 и cosa_{x n} и x – a имеют одинаковый знак, то при s ³0 верно неравенство

1 – ³ 0.

Аналогично получим аппроксимацию второго граничного условия

, (m, ) Î дDh, (m,b) Î Dh, , .

(5.2)

Здесь при s ³0 так же 1 – ³ 0. Формулы (5.1), (7.2) аппроксимируют граничные условия со вторым порядком по h при g = 0 и первым – при g = 1.

Скалярное произведение (u^(h), L_1h(u^(h))) при однородных граничных условиях (g = 0) распадается на суммы с постоянным значением индекса n, имеющие вид

,

где (a₀, n) – внутренний узел, соседний справа к граничному узлу ( , n), а (a₁, n) – внутренний узел, соседний слева к граничному узлу ( , n). Поскольку = a₀ – 1, = a₁ +1, указанная сумма преобразуется к виду

+

+ .

При однородных граничных условиях получим

=

= .

Итак, при c ³ 0 и s ³ 0 имеем (u^(h), L_1h(u^(h))) ³0, т.е. разностный оператор положительно полуопределен, L_1h ³0. Повторяя выкладки для скалярного произведения (u^(h), L_2h(u^(h))), установим, что при тех же условиях L_2h ³0.

Рассмотрим эволюционную параболическую задачу

, в D´{t > 0},

на дD´{t > 0},

u(x, y, 0) = j(x, y) на D´{t = 0},

где оператор L представим суммой L = L₁ + L₂и перейдем к разностной аппроксимации задачи по пространственным переменным. При помощи граничных условий (5.1) и (5.2) исключим значения сеточной функции в граничных узлах, а значения во внутренних узлах упорядочим как компоненты вектора u. Получим систему дифференциальных уравнений

+ L(u) = f, u(0) = j, = y при j = 2.

Пусть разностный оператор L является суммой двух неотрицательных операторов

L = L₁ + L₂, L₁³0, L₂³0,

где компоненты матриц L₁, L₂ и L могут зависеть от времени t. Заметим, что согласно предложению 4.7 операторы L₁, L₂ и L симметричны. В этом случае возможно задачу математической физики свести к последовательному решению более простых задач, эффективно решаемых с помощью ЭВМ.

Метод стабилизации

Предположим, что операторы L, L₁ и L₂ не зависят от времени, а решение задачи обладает необходимой гладкостью. Рассмотрим схему Кранка – Николсона для параболической задачи

(u^k+1–u^k) + ½ L(u^k+1+ u^k) = f ^k+1/2, u⁰= j.

При достаточной гладкости решения схема Кранка – Николсона эквивалентна с точностью до величин второго порядка малости по t разностной задаче

(E + L₁)(E + L₂)(u^k+1–u^k) + L(u^k) = f ^k+1/2, u⁰= j

Действительно,

(E + L₁)(E + L₂) = E + L + ( )²L₁L₂

и уравнение приводится к виду

(E + ( )²L₁L₂)(u^k+1–u^k) + ½ L(u^k+1+ u^k) = f ^k+1/2,

совпадающему со схемой Кранка – Николсона по порядку аппроксимации.

Используя тождество

(E - L₁)(E - L₂) = E - L + ( )²L₁L₂,

преобразуем уравнение

(E + L₁)(E + L₂)(u^k+1) =(E - L₁)(E - L₂)(u^k) + t f ^k+1/2,

и запишем задачу в виде

(E + L₂)(u^k+1) = (E + L₁)^-1(E – L₁)(E – L₂)(u^k) +

+ t (E + L₁)^-1(f ^k+1/2),

u⁰= j

Перейдем к новой переменой v^k= (E + L₂)(u^k)

vk+1= T(vk) + t (E + L1)-1(E + L2)-1(E + L2)(f k+1/2).

(5.3)

где T – оператор шага

T = (E + L₁)^-1(E – L₁)(E - L₂)(E + L₂)^-1= T₁ T₂,

T_a = (E - L_j)(E + L _j)^-1, j = 1, 2.

Согласно предложениям 4.4 и 4.5 имеем

||(E + L_j)^-1|| £1, ||T_j || £1, j = 1, 2.

Оценим норму оператора шага

||T|| £ ||T₁||×||T₂|| £1

и перейдем в равенстве (5.3) к нормам

||v^k+1|| £ ||v^k|| + t ||(E + L₂)(f ^k+1/2)||.

Введем обозначение

||v^k|| = ||(E + L₂)(u^k)|| = = ||u^k||_C2 ,

где C₂ = (E + )(E + L₂) – положительно определенная матрица. Выражение ||.||_C2является энергетической нормой. В данной норме имеет место принцип максимума

||u^k+1||_C2£ ||u^k||_C2+ t ||f ^k+1/2||_C2.

Итак, если L₁ и L₂ не зависят от времени и положительно полуопределены, разностная схема абсолютно устойчива и аппроксимирует дифференциальную задачу со вторым порядком по t.

Разностная схема метода стабилизации допускает удобную реализацию

F ^k= L(u^k) + f ^k+1/2, (E + L₁)(F ^k+1/2) = F ^k,

(E + L₂)(F ^k+1) = F ^k+1/2, u^k+1= u^k+ t F ^k+1.