Главная
Обратная связь
Дисциплины:
|
Редукция двумерной задачи
Рассмотрим в области D дифференциальный оператор
L(u) = , a>0, b>0
с условиями на границе дD

где cosa, cosb – направляющие косинусы внешней нормали границы дD, а g принимает значение 0 или 1.При g = 0, s = 1 имеем условие Дирихле, при g = 1, s = 0 – условие Неймана, при s ¹ 0 – смешанное условие. Представим оператор L(u) суммой двух операторов L = L1 + L2,
L1(u) = в D,
на дD,
L2(u) = в D,
на дD.
Скалярное произведение (u, L1(u)) после применения формулы Грина приводится к виду
(u, L1(u)) = .
При однородных граничных условиях g = 0 криволинейный интеграл отличен от нуля только на части границы дD3 со смешанным граничным условием

Таким образом, при c ³ 0 и s ³ 0 имеем (u, L1(u))³0. Если c = 0 и задано условие Неймана на всей границе, то для любой ненулевой функции u = const получим (u, L1(u))=0,т.е. оператор положительно полуопределен, L1 ³ 0. В остальных случаях оператор положительно определен, L1 > 0.
Очевидно, что аналогичный вывод справедлив и для оператора L2. Поскольку L = L1 + L2, имеем L ³0.
Заключим область D в минимальный прямоугольник со сторонами l1, l2, параллельными осям координат. Поскольку оператор и граничные условия не меняются при параллельном переносе осей координат, то без ограничения общности можно считать, что прямоугольник лежит в первом квадранте, а его стороны расположены на осях координат. Построим сетку
xm = mh1, 0 £ m £ M, h1 = l1/M,
yn = nh2, 0 £ n £ N, h2 = l2/N.
Пусть прямая y = yn пересекает границу дD при x = xx, xx = xh1. Будем записывать точку пересечения (xx, yn) в виде (x, n), где x, n – ее координаты в масштабе сетки. На прямой y = yn таких точек не менее двух. Ближайший к точке (x, n) узел обозначим ( , n), назовем граничным и отнесем к дDh. Ясно, что |x - | <½. Ближайший к точке пересечения (x, n) узел, принадлежащий Dh, обозначим (a, n) Î Dh, |x - a| ³½. Аналогично, прямая x = xm пересекает границу дD в точке (m, h) с координатой yh = hh2. Ближайшие к точке (m, h) узлы сетки обозначим (m, ) Î дDh и (m, b) Î дDh,
|h - | <½, |h - b| ³½.
Построим разностную аппроксимацию операторов L1 и L2. Во внутренних узлах (m, n) Î Dh имеем со вторым порядком по h
L1h(u(h)) = ,
L2h(u(h)) = .
а) cosax n > 0
| б) cosax n < 0
| Рис. 7
| Возможные расположения точек (x, n), ( , n) и (a, n) представлены на рис. 7. Граница области выделена двойной линией, граничная точка (x, n) затемнена, стрелка указывает направление внешней нормали к границе дD.
Аппроксимируем граничное условие. Для расположения, изображенного на рис. 7а, имеем cosax n > 0, xx > xa,
.
При cosax n < 0, xx < xa (рис. 7б) получим
.
Запишем граничное условие в виде
, ( , n) Î дDh, (a, n) Î Dh,
,
, .
| (5.1)
| Поскольку 0£gx n £1 и cosax n и x – a имеют одинаковый знак, то при s ³0 верно неравенство
1 – ³ 0.
Аналогично получим аппроксимацию второго граничного условия
, (m, ) Î дDh, (m,b) Î Dh,
,
.
| (5.2)
| Здесь при s ³0 так же 1 – ³ 0. Формулы (5.1), (7.2) аппроксимируют граничные условия со вторым порядком по h при g = 0 и первым – при g = 1.
Скалярное произведение (u(h), L1h(u(h))) при однородных граничных условиях (g = 0) распадается на суммы с постоянным значением индекса n, имеющие вид
,
где (a0, n) – внутренний узел, соседний справа к граничному узлу ( , n), а (a1, n) – внутренний узел, соседний слева к граничному узлу ( , n). Поскольку = a0 – 1, = a1 +1, указанная сумма преобразуется к виду
+
+ .
При однородных граничных условиях получим
=
= .
Итак, при c ³ 0 и s ³ 0 имеем (u(h), L1h(u(h))) ³0, т.е. разностный оператор положительно полуопределен, L1h ³0. Повторяя выкладки для скалярного произведения (u(h), L2h(u(h))), установим, что при тех же условиях L2h ³0.
Рассмотрим эволюционную параболическую задачу
, в D´{t > 0},
на дD´{t > 0},
u(x, y, 0) = j(x, y) на D´{t = 0},
где оператор L представим суммой L = L1 + L2и перейдем к разностной аппроксимации задачи по пространственным переменным. При помощи граничных условий (5.1) и (5.2) исключим значения сеточной функции в граничных узлах, а значения во внутренних узлах упорядочим как компоненты вектора u. Получим систему дифференциальных уравнений
+ L(u) = f, u(0) = j, = y при j = 2.
Пусть разностный оператор L является суммой двух неотрицательных операторов
L = L1 + L2, L1³0, L2³0,
где компоненты матриц L1, L2 и L могут зависеть от времени t. Заметим, что согласно предложению 4.7 операторы L1, L2 и L симметричны. В этом случае возможно задачу математической физики свести к последовательному решению более простых задач, эффективно решаемых с помощью ЭВМ.
Метод стабилизации
Предположим, что операторы L, L1 и L2 не зависят от времени, а решение задачи обладает необходимой гладкостью. Рассмотрим схему Кранка – Николсона для параболической задачи
(uk+1–uk) + ½ L(uk+1+ uk) = f k+1/2, u0= j.
При достаточной гладкости решения схема Кранка – Николсона эквивалентна с точностью до величин второго порядка малости по t разностной задаче
(E + L1)(E + L2)(uk+1–uk) + L(uk) = f k+1/2, u0= j
Действительно,
(E + L1)(E + L2) = E + L + ( )2L1L2
и уравнение приводится к виду
(E + ( )2L1L2)(uk+1–uk) + ½ L(uk+1+ uk) = f k+1/2,
совпадающему со схемой Кранка – Николсона по порядку аппроксимации.
Используя тождество
(E - L1)(E - L2) = E - L + ( )2L1L2,
преобразуем уравнение
(E + L1)(E + L2)(uk+1) =(E - L1)(E - L2)(uk) + t f k+1/2,
и запишем задачу в виде
(E + L2)(uk+1) = (E + L1)-1(E – L1)(E – L2)(uk) +
+ t (E + L1)-1(f k+1/2),
u0= j
Перейдем к новой переменой vk= (E + L2)(uk)
vk+1= T(vk) + t (E + L1)-1(E + L2)-1(E + L2)(f k+1/2).
| (5.3)
| где T – оператор шага
T = (E + L1)-1(E – L1)(E - L2)(E + L2)-1= T1 T2,
Ta = (E - Lj)(E + L j)-1, j = 1, 2.
Согласно предложениям 4.4 и 4.5 имеем
||(E + Lj)-1|| £1, ||Tj || £1, j = 1, 2.
Оценим норму оператора шага
||T|| £ ||T1||×||T2|| £1
и перейдем в равенстве (5.3) к нормам
||vk+1|| £ ||vk|| + t ||(E + L2)(f k+1/2)||.
Введем обозначение
||vk|| = ||(E + L2)(uk)|| = = ||uk||C2 ,
где C2 = (E + )(E + L2) – положительно определенная матрица. Выражение ||.||C2является энергетической нормой. В данной норме имеет место принцип максимума
||uk+1||C2£ ||uk||C2+ t ||f k+1/2||C2.
Итак, если L1 и L2 не зависят от времени и положительно полуопределены, разностная схема абсолютно устойчива и аппроксимирует дифференциальную задачу со вторым порядком по t.
Разностная схема метода стабилизации допускает удобную реализацию
F k= L(uk) + f k+1/2, (E + L1)(F k+1/2) = F k,
(E + L2)(F k+1) = F k+1/2, uk+1= uk+ t F k+1.
|