Метод предиктор – корректор
По смыслу этого метода в каждом промежутке [tk,tk+1] параболическая задача решается в два приема. Сначала по схеме первого порядка точности находится приближенное решение в момент времени tk +½t. Этот этап называется предиктором. Затем используется схема со вторым порядком аппроксимации, которая служит корректором. При конструкции корректора используется решение, полученное предиктором.
Схема предиктор – корректор задается в форме
(uk+1/4–uk) + L1(uk+1/4) = f k+1/2,
(uk+1/2–uk+1/4) + L2(uk+1/2) = 0,
(uk+1–uk) + L(uk+1/2) = f k+1/2, u0= j.
Исключая значения с дробными индексами, получим
(uk+1–uk) + L(E + L2)-1(E + L1)-1(uk+ f k+1/2) = f k+1/2.
| (5.4)
| Для исследования аппроксимации перепишем уравнение в виде
(E + L1)(E + L2)(uk+1–uk) + R(uk+ f k+1/2) =
= (E + L1)(E + L2)(f k+1/2),
где
R = (E + L1)(E + L2)L(E + L2)-1(E + L1)-1.
Непосредственно проверяется тождество
(E + L1)(E + L2)L – L(E + L1)(E + L2) =
= ( )2(L1L2L - LL1L2),
из которого вытекает
R = L + ( )2S,
S = (L1L2L - LL1L2)(E + L2)-1(E + L1)-1.
Уравнение приводится к виду
(E + L1)(E + L2)(uk+1–uk) + L(uk) + ( )2S(uk+ f k+1/2)=
= f k+1/2+ ( )2L1L2(f k+1/2),
совпадающему по порядку аппроксимации со схемой метода стабилизации при достаточной гладкости решения.
Для исследования устойчивости метода положим
vk= (E + L1)-1(uk+ f k+1/2).
Уравнение (5.4) приводится к виду
(vk+1–vk) + (E + L1)-1L(E + L2)-1(vk) =
= ½(E + L1)-1(f k+1/2+ f k+3/2).
Разрешим уравнение относительно vk+1
vk+1= T(vk) + (E + L1)-1(f k+1/2+ f k+3/2)
и преобразуем оператор шага
T = E – t (E + L1)-1L(E + L2)-1 =
= (E + L1)-1[(E + L1)(E + L2) – t L](E + L2)-1 =
= (E + L1)-1(E – L1)(E – L2)(E + L2)-1 = T1T2.
Согласно лемме Келлога 4.5 имеем
||vk+1|| = ||vk|| + ||(E + L1)-1(f k+1/2+ f k+3/2)||.
Введем обозначение
||vk|| = (uk+ f k+1/2,C1(uk+ f k+1/2))1/2= ||uk+ f k+1/2||C1,
где C1 = (E + )-1(E + L1)-1– положительно определенная матрица, а ||.||C1– энергетическая норма. В данной норме выполнен принцип максимума
||uk+1+ f k+3/2||C1= ||uk+ f k+1/2||C1+ t ||½(f k+1/2+ f k+3/2)||C1.
Итак, при kt £ T схема устойчива и позволяет получить решение второго порядка точности по t.
|