Главная Обратная связь

Дисциплины:






Метод предиктор – корректор



По смыслу этого метода в каждом промежутке [tk,tk+1] параболическая задача решается в два приема. Сначала по схеме первого порядка точности находится приближенное решение в момент времени tk t. Этот этап называется предиктором. Затем используется схема со вторым порядком аппроксимации, которая служит корректором. При конструкции корректора используется решение, полученное предиктором.

Схема предиктор – корректор задается в форме

(uk+1/4uk) + L1(uk+1/4) = f k+1/2,

(uk+1/2uk+1/4) + L2(uk+1/2) = 0,

(uk+1uk) + L(uk+1/2) = f k+1/2, u0= j.

Исключая значения с дробными индексами, получим

(uk+1–uk) + L(E + L2)-1(E + L1)-1(uk+ f k+1/2) = f k+1/2. (5.4)

Для исследования аппроксимации перепишем уравнение в виде

(E + L1)(E + L2)(uk+1uk) + R(uk+ f k+1/2) =

= (E + L1)(E + L2)(f k+1/2),

где

R = (E + L1)(E + L2)L(E + L2)-1(E + L1)-1.

Непосредственно проверяется тождество

(E + L1)(E + L2)LL(E + L1)(E + L2) =

= ( )2(L1L2L - LL1L2),

из которого вытекает

R = L + ( )2S,

S = (L1L2L - LL1L2)(E + L2)-1(E + L1)-1.

Уравнение приводится к виду

(E + L1)(E + L2)(uk+1uk) + L(uk) + ( )2S(uk+ f k+1/2)=

= f k+1/2+ ( )2L1L2(f k+1/2),

совпадающему по порядку аппроксимации со схемой метода стабилизации при достаточной гладкости решения.

Для исследования устойчивости метода положим

vk= (E + L1)-1(uk+ f k+1/2).

Уравнение (5.4) приводится к виду

(vk+1vk) + (E + L1)-1L(E + L2)-1(vk) =

= ½(E + L1)-1(f k+1/2+ f k+3/2).

Разрешим уравнение относительно vk+1

vk+1= T(vk) + (E + L1)-1(f k+1/2+ f k+3/2)

и преобразуем оператор шага

T = E – t (E + L1)-1L(E + L2)-1 =

= (E + L1)-1[(E + L1)(E + L2) – t L](E + L2)-1 =

= (E + L1)-1(E – L1)(E – L2)(E + L2)-1 = T1T2.

Согласно лемме Келлога 4.5 имеем

||vk+1|| = ||vk|| + ||(E + L1)-1(f k+1/2+ f k+3/2)||.

Введем обозначение

||vk|| = (uk+ f k+1/2,C1(uk+ f k+1/2))1/2= ||uk+ f k+1/2||C1,

где C1 = (E + )-1(E + L1)-1– положительно определенная матрица, а ||.||C1– энергетическая норма. В данной норме выполнен принцип максимума

||uk+1+ f k+3/2||C1= ||uk+ f k+1/2||C1+ t ||½(f k+1/2+ f k+3/2)||C1.

Итак, при kt £ T схема устойчива и позволяет получить решение второго порядка точности по t.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...