Метод предиктор – корректор

По смыслу этого метода в каждом промежутке [t_k,t_k+1] параболическая задача решается в два приема. Сначала по схеме первого порядка точности находится приближенное решение в момент времени t_k +½t. Этот этап называется предиктором. Затем используется схема со вторым порядком аппроксимации, которая служит корректором. При конструкции корректора используется решение, полученное предиктором.

Схема предиктор – корректор задается в форме

(u^k+1/4–u^k) + L₁(u^k+1/4) = f ^k+1/2,

(u^k+1/2–u^k+1/4) + L₂(u^k+1/2) = 0,

(u^k+1–u^k) + L(u^k+1/2) = f ^k+1/2, u⁰= j.

Исключая значения с дробными индексами, получим

(uk+1–uk) + L(E + L2)-1(E + L1)-1(uk+ f k+1/2) = f k+1/2.

(5.4)

Для исследования аппроксимации перепишем уравнение в виде

(E + L₁)(E + L₂)(u^k+1–u^k) + R(u^k+ f ^k+1/2) =

= (E + L₁)(E + L₂)(f ^k+1/2),

где

R = (E + L₁)(E + L₂)L(E + L₂)^-1(E + L₁)^-1.

Непосредственно проверяется тождество

(E + L₁)(E + L₂)L – L(E + L₁)(E + L₂) =

= ( )²(L₁L₂L - LL₁L₂),

из которого вытекает

R = L + ( )²S,

S = (L₁L₂L - LL₁L₂)(E + L₂)^-1(E + L₁)^-1.

Уравнение приводится к виду

(E + L₁)(E + L₂)(u^k+1–u^k) + L(u^k) + ( )²S(u^k+ f ^k+1/2)=

= f ^k+1/2+ ( )²L₁L₂(f ^k+1/2),

совпадающему по порядку аппроксимации со схемой метода стабилизации при достаточной гладкости решения.

Для исследования устойчивости метода положим

v^k= (E + L₁)^-1(u^k+ f ^k+1/2).

Уравнение (5.4) приводится к виду

(v^k+1–v^k) + (E + L₁)^-1L(E + L₂)^-1(v^k) =

= ½(E + L₁)^-1(f ^k+1/2+ f ^k+3/2).

Разрешим уравнение относительно v^k+1

v^k+1= T(v^k) + (E + L₁)^-1(f ^k+1/2+ f ^k+3/2)

и преобразуем оператор шага

T = E – t (E + L₁)^-1L(E + L₂)^-1 =

= (E + L₁)^-1[(E + L₁)(E + L₂) – t L](E + L₂)^-1 =

= (E + L₁)^-1(E – L₁)(E – L₂)(E + L₂)^-1 = T₁T₂.

Согласно лемме Келлога 4.5 имеем

||v^k+1|| = ||v^k|| + ||(E + L₁)^-1(f ^k+1/2+ f ^k+3/2)||.

Введем обозначение

||v^k|| = (u^k+ f ^k+1/2,C₁(u^k+ f ^k+1/2))^1/2= ||u^k+ f ^k+1/2||_C1,

где C₁ = (E + )^-1(E + L₁)^-1– положительно определенная матрица, а ||.||_C1– энергетическая норма. В данной норме выполнен принцип максимума

||u^k+1+ f ^k+3/2||_C1= ||u^k+ f ^k+1/2||_C1+ t ||½(f ^k+1/2+ f ^k+3/2)||_C1.

Итак, при kt £ T схема устойчива и позволяет получить решение второго порядка точности по t.