Главная Обратная связь

Дисциплины:






Метод покомпонентного расщепления



Метод стабилизации и предиктор – корректор абсолютно устойчивы и эквивалентны по точности, но имеют существенное ограничение, налагаемое условием, что операторы L1, L2 не зависят от времени. Метод покомпонентного расщепления свободен от этого ограничения и применим, когда операторы L1, L2 зависят от времени.

Метод покомпонентного расщепления состоит в последовательном применении на временном отрезке [tk-1, tk+1] двух разностных схем

(E + )(uk-1/2) = (E - )(uk-1),

(E + )(uk)= (E - )(uk-1/2),

(E + )(uk+1/2)= (E - )(uk)+ 2t f k,

(E + )(uk+1) = (E - )(uk+1/2), u0= j.

Исключим неизвестные величины с дробными индексами

uk+1 = T1T2T2T1(uk-1) + 2t T1T2(f k), (5.5)

где

Tj = (E + )-1(E - ), j = 1, 2.

Для исследования аппроксимации перепишем уравнение в виде

[ R2R1(uk+1) –T2T1(uk-1)] = f k, (5.6)

где

= (E - )-1(E + ), j = 1, 2.

Для упрощения выкладок представим и Tj матричными функциями

= R( ), Tj = R(- ).

дробно – рациональной функции R(z) = (1 – z)-1(1 + z), которую представим в рядом

R(z) = 1 + 2

Вычислим некоммутативное произведение рядов

R(z2) R(z1) = 1 + =

= 1 + =

= 1 + =

= 1 + 2(z1 + z2) +

+ 2 + 2 .

Перейдем к матричным выражениям, заменив zj на , и обозначим через Pk и Qk суммы матричных рядов

Pk = ,

Qk = .

Тогда

= E + Pk + t(L + Qk),

T2 T1 = E + Pk - t(L + Qk).

Подставим полученные выражения в уравнение (5.6)

= f k.

Уравнение на шаге 2t совпадает с разностным уравнением Кранка – Николсона

= f k

с точностью до второго порядка малости по t.

Исследуем устойчивость. Из уравнения (5.5) в силу леммы Келлога 4.5 следует принцип максимума

||uk+1|| £ ||uk-1|| + 2t ||f k||.

Итак, при L1átñ ³ 0, L2átñ ³ 0и достаточной гладкости функции f, элементов матриц L1átñ, L2átñ и решения система разностных уравнений схема устойчива и аппроксимирует исходное уравнение со вторым порядком по t.

Метод стабилизации, предиктор – корректор и метод покомпонентного расщепления эквивалентны по порядку точности, но не тождественны друг другу, так как имеют несовпадающие операторы шага. Наличие трех независимых методов позволяет с большей уверенностью подходить к решению сложных задач.

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...