Дисциплины:
Метод покомпонентного расщепления
Метод стабилизации и предиктор – корректор абсолютно устойчивы и эквивалентны по точности, но имеют существенное ограничение, налагаемое условием, что операторы L1, L2 не зависят от времени. Метод покомпонентного расщепления свободен от этого ограничения и применим, когда операторы L1, L2 зависят от времени.
Метод покомпонентного расщепления состоит в последовательном применении на временном отрезке [tk-1, tk+1] двух разностных схем
(E + 
)(uk-1/2) = (E - )(uk-1),
(E + 
)(uk)= (E - )(uk-1/2),
(E + )(uk+1/2)= (E - )(uk)+ 2t f k,
(E + )(uk+1) = (E - )(uk+1/2), u0= j.
Исключим неизвестные величины с дробными индексами
| uk+1 = T1T2T2T1(uk-1) + 2t T1T2(f k), | (5.5) |
где
Tj = (E + 
)-1(E - ), j = 1, 2.
Для исследования аппроксимации перепишем уравнение в виде
 [  R2R1(uk+1) –T2T1(uk-1)] = f k,
| (5.6) |
где
= (E - )-1(E + ), j = 1, 2.
Для упрощения выкладок представим и Tj матричными функциями
= R( ), Tj = R(- ).
дробно – рациональной функции R(z) = (1 – z)-1(1 + z), которую представим в рядом
R(z) = 1 + 2 
Вычислим некоммутативное произведение рядов
R(z2) R(z1) = 1 + 
=
= 1 + 
=
= 1 + 
=
= 1 + 2(z1 + z2) +
+ 2 
+ 2 
.
Перейдем к матричным выражениям, заменив zj на , и обозначим через Pk и Qk суммы матричных рядов
Pk = 
,
Qk = 
.
Тогда
= E + 
Pk + t(L + 
Qk),
T2 T1 = E + Pk - t(L + Qk).
Подставим полученные выражения в уравнение (5.6)
= f k.
Уравнение на шаге 2t совпадает с разностным уравнением Кранка – Николсона
= f k
с точностью до второго порядка малости по t.
Исследуем устойчивость. Из уравнения (5.5) в силу леммы Келлога 4.5 следует принцип максимума
||uk+1|| £ ||uk-1|| + 2t ||f k||.
Итак, при L1átñ ³ 0, L2átñ ³ 0и достаточной гладкости функции f, элементов матриц L1átñ, L2átñ и решения система разностных уравнений схема устойчива и аппроксимирует исходное уравнение со вторым порядком по t.
Метод стабилизации, предиктор – корректор и метод покомпонентного расщепления эквивалентны по порядку точности, но не тождественны друг другу, так как имеют несовпадающие операторы шага. Наличие трех независимых методов позволяет с большей уверенностью подходить к решению сложных задач.