Главная
Обратная связь
Дисциплины:
|
Задачи теплопереноса и массообмена
В твердых телах скорости перемещений, вызванные тепловым расширением, малы, и ими можно пренебречь. Если теплоемкость c тела постоянна, из уравнений (9) получим
. (суммирование по i)
| (14)
| Пусть среда заполняет область D(x,y,z)с границей дD(x,h,z). В области D необходимо задать начальное распределение температуры
T(M, t) = j(M, t), M(x,y,z)Î D.
Граничные условия для уравнения (14) разнообразны. На границе дD может быть задано значение температуры
T(M,t) = g (M,t), M(x,h,z)Î дD,
| (15)
| или величина потока
(q, n)|M= g(M,t), M(x,h,z)Î дD.
| (16)
| В координатной записи имеем
(q, n)|M= (суммирование по i),
где ni – направляющие косинусы внешней нормали к границе дD.
Пусть по границе дD область D соприкасается с внешней газообразной или жидкой средой с известной температурой T0. Во внешней среде возникает пограничный слой толщиной h, в котором температураменяется от значения на границе до значения в окружающей среде. Пусть коэффициент теплопроводности внешней среды равен k0. Интегрируем тепловой поток во внешней среде по нормали к границе
.
Применим к обеим частям равенства теорему о среднем значении интеграла. В правой части, учитывая, что производная по нормали – монотонная функция, вынесем среднее значение k0
qn ср h = – k0 ср (T0 – T),
где T0 – значение температуры во внешней среде, T – граничное значение. Обозначая s = k0 ср /h, получим формулу для потока по нормали к границе
qn ср = s (T – T0).
В теории теплопереноса полученная формула носит название закона Ньютона, а s – коэффициента теплопередачи. На границе дD необходимо приравнять поток, приходящий изнутри области D, потоку во внешнюю среду
(q, n)|M= s(M,t)(T(M,t) – T0(t)), M(x,h,z)Î дD.
| (17)
| В общем случае, граница дD может состоять из частей, на которых заданы условия (15 – 17).
Если теплоемкость среды зависит от температуры, уравнение (14) заменяется уравнением
.
Поскольку U есть функция температуры T, начальные и граничные условия для уравнения можно представить в виде, аналогичном (15 – 17) с заменой T на U и представлением теплового потока
(q,n)= .
Если граничные условия стационарны, а функция f и коэффициенты теплопроводности и теплопередачи не изменяются во времени, то при любых начальных условиях решение уравнения (14) с течением времени выходит на предельное стационарное решение, представляющее интерес для многих практических приложений.
Массоперенос, вызываемый молекулярно-кинетическим процессом перемешивания молекул в результате теплового движения, называется диффузией. Различие концентраций в разных точках раствора порождает поток массы растворенного вещества. Закон Фика утверждает, что поток массы за единицу времени через единицу площади поверхности пропорционален градиенту концентрации растворенного вещества в этом направлении.
Если C – массовая концентрация диффундирующей примеси, то закон Фика записывается следующим образом:
q = – D gradC,
где D – коэффициент диффузии. Подстановка в формулу (10) приводит к уравнению
.
Несмотря на то, что закон Фика первоначально был сформулирован для описания молекулярной диффузии, он пригоден для описания движения больших объемов жидкостей и газов при наличии турбулентности.
Начальные и граничные условия задачи массопереноса аналогичны соответствующим условиям задачи теплопереноса.
Волновая задача
Для практических приложений представляет интерес теория деформирования твердых тел, когда деформации и смещения малы. Обозначим через u = uiei смещение точки тела при деформации и заменим ускорение в уравнениях (9) второй производной . Изменения объема незначительны, и плотность r среды можно считать постоянной. Упругие деформации обратимы, при снятии нагружения тело возвращается к начальному состоянию. Поскольку отсутствует потери внутренней энергии на трение, функция F равна нулю. Для упругих деформаций среды уравнения (9) принимают вид
= g + ei div(Pi/r),
.
| (13)
| Если напряжения в теле не зависят от температуры, динамическая и тепловая задачи становятся независимыми.
Поперечные колебания мембраны
Мембраной называется упругое тело, имеющее вид тонкой пленки, не сопротивляющейся изгибу, но сопротивляющейся растяжению. Пусть мембрана занимает область D(x,y) и закреплена по плоскому горизонтальному контуру, ось z направлена вертикально вверх. Для ненагруженной мембраны матрица P имеет нулевые элементы, кроме = P1и = P2, определяемых натяжением в направлениях осей x и y.
При смещении мембрана принимает форму z = u(x,y,t). Рассмотрим малый элемент мембраны dS. При смещении площадь элемента принимает значение dS. При малых смещениях членами как величинами второго порядка можно пренебречь. В этой постановке площадь элемента dS постоянна, и натяжения P1и P2 остаются неизменными. Нормаль к поверхности z = u(x,y,t)
n = 
порождает на смещенной площадке dS напряжение
P(n) = .
Итак, напряжение на постоянной площадке dS с точностью до величин второго порядка малости изменяется по закону
P3 = (P1ux, P2uy, 0).
Из трех уравнений движения существенным остается одно
,
причем u3 = u(x,y,t). Подставив, значение P3, получим уравнение поперечных колебаний мембраны
.
Пусть в ненагруженном состоянии мембрана занимает плоскую область D(x, y) с границей дD(x, h).В области D необходимо задать смещение и начальное распределение скоростей точек мембраны
u(M,0) = j(M), u(M,0) = y(M), M(x,y) Î D.
По границе мембрана может быть частично или полностью закреплена
u(M,t) = 0, M(x,h) Î дD1,
по части границы свободна
u(M,t) = 0, M(x,h) Î дD2.
Мембранам принадлежит важная роль в устройствах, передающих речь. Мембранами являются паруса, оболочки аэростатов и т. д.
При одной пространственной переменной, пренебрегая весом, получим уравнение колебаний струны (a2 = P1/r, P2 = 0)
.
|