Задачи теплопереноса и массообмена

В твердых телах скорости перемещений, вызванные тепловым расширением, малы, и ими можно пренебречь. Если теплоемкость c тела постоянна, из уравнений (9) получим

. (суммирование по i)

(14)

Пусть среда заполняет область D(x,y,z)с границей дD(x,h,z). В области D необходимо задать начальное распределение температуры

T(M, t) = j(M, t), M(x,y,z)Î D.

Граничные условия для уравнения (14) разнообразны. На границе дD может быть задано значение температуры

или величина потока

В координатной записи имеем

(q, n)|_M= (суммирование по i),

где nⁱ – направляющие косинусы внешней нормали к границе дD.

Пусть по границе дD область D соприкасается с внешней газообразной или жидкой средой с известной температурой T₀. Во внешней среде возникает пограничный слой толщиной h, в котором температураменяется от значения на границе до значения в окружающей среде. Пусть коэффициент теплопроводности внешней среды равен k₀. Интегрируем тепловой поток во внешней среде по нормали к границе

.

Применим к обеим частям равенства теорему о среднем значении интеграла. В правой части, учитывая, что производная по нормали – монотонная функция, вынесем среднее значение k₀

q_{n ср} h = – k_{0 ср} (T₀ – T),

где T₀ – значение температуры во внешней среде, T – граничное значение. Обозначая s = k_{0 ср} /h, получим формулу для потока по нормали к границе

q_{n ср} = s (T – T₀).

В теории теплопереноса полученная формула носит название закона Ньютона, а s – коэффициента теплопередачи. На границе дD необходимо приравнять поток, приходящий изнутри области D, потоку во внешнюю среду

В общем случае, граница дD может состоять из частей, на которых заданы условия (15 – 17).

Если теплоемкость среды зависит от температуры, уравнение (14) заменяется уравнением

.

Поскольку U есть функция температуры T, начальные и граничные условия для уравнения можно представить в виде, аналогичном (15 – 17) с заменой T на U и представлением теплового потока

(q,n)= .

Если граничные условия стационарны, а функция f и коэффициенты теплопроводности и теплопередачи не изменяются во времени, то при любых начальных условиях решение уравнения (14) с течением времени выходит на предельное стационарное решение, представляющее интерес для многих практических приложений.

Массоперенос, вызываемый молекулярно-кинетическим процессом перемешивания молекул в результате теплового движения, называется диффузией. Различие концентраций в разных точках раствора порождает поток массы растворенного вещества. Закон Фика утверждает, что поток массы за единицу времени через единицу площади поверхности пропорционален градиенту концентрации растворенного вещества в этом направлении.

Если C – массовая концентрация диффундирующей примеси, то закон Фика записывается следующим образом:

q = – D gradC,

где D – коэффициент диффузии. Подстановка в формулу (10) приводит к уравнению

.

Несмотря на то, что закон Фика первоначально был сформулирован для описания молекулярной диффузии, он пригоден для описания движения больших объемов жидкостей и газов при наличии турбулентности.

Начальные и граничные условия задачи массопереноса аналогичны соответствующим условиям задачи теплопереноса.

Волновая задача

Для практических приложений представляет интерес теория деформирования твердых тел, когда деформации и смещения малы. Обозначим через u = uⁱe_i смещение точки тела при деформации и заменим ускорение в уравнениях (9) второй производной . Изменения объема незначительны, и плотность r среды можно считать постоянной. Упругие деформации обратимы, при снятии нагружения тело возвращается к начальному состоянию. Поскольку отсутствует потери внутренней энергии на трение, функция F равна нулю. Для упругих деформаций среды уравнения (9) принимают вид

= g + ei div(Pi/r), .

(13)

Если напряжения в теле не зависят от температуры, динамическая и тепловая задачи становятся независимыми.

Поперечные колебания мембраны

Мембраной называется упругое тело, имеющее вид тонкой пленки, не сопротивляющейся изгибу, но сопротивляющейся растяжению. Пусть мембрана занимает область D(x,y) и закреплена по плоскому горизонтальному контуру, ось z направлена вертикально вверх. Для ненагруженной мембраны матрица P имеет нулевые элементы, кроме = P₁и = P₂, определяемых натяжением в направлениях осей x и y.

При смещении мембрана принимает форму z = u(x,y,t). Рассмотрим малый элемент мембраны dS. При смещении площадь элемента принимает значение dS. При малых смещениях членами как величинами второго порядка можно пренебречь. В этой постановке площадь элемента dS постоянна, и натяжения P₁и P₂ остаются неизменными. Нормаль к поверхности z = u(x,y,t)

n =

порождает на смещенной площадке dS напряжение

P(n) = .

Итак, напряжение на постоянной площадке dS с точностью до величин второго порядка малости изменяется по закону

P³ = (P₁u_x, P₂u_y, 0).

Из трех уравнений движения существенным остается одно

,

причем u³ = u(x,y,t). Подставив, значение P³, получим уравнение поперечных колебаний мембраны

.

Пусть в ненагруженном состоянии мембрана занимает плоскую область D(x, y) с границей дD(x, h).В области D необходимо задать смещение и начальное распределение скоростей точек мембраны

u(M,0) = j(M), u(M,0) = y(M), M(x,y) Î D.

По границе мембрана может быть частично или полностью закреплена

u(M,t) = 0, M(x,h) Î дD₁,

по части границы свободна

u(M,t) = 0, M(x,h) Î дD₂.

Мембранам принадлежит важная роль в устройствах, передающих речь. Мембранами являются паруса, оболочки аэростатов и т. д.

При одной пространственной переменной, пренебрегая весом, получим уравнение колебаний струны (a² = P₁/r, P₂ = 0)

.