Главная Обратная связь

Дисциплины:






Крутильные колебания круглых валов



Примем ось вала за ось x, весом вала пренебрежем. Пусть поперечное сечение вала занимает область D(y,z)с площадью s. При крутильных колебаниях все сечения стержня поворачиваются вокруг оси, оставаясь параллельными. Форма сечения и расстояния между сечениями остаются неизменными. Смещение любого сечения по оси x равно нулю.

Обозначим через u(x,t)угол поворота сечения относительно начального положения. В цилиндрической системе координат

x = x, y = r cosj, z = r sinj

смещение любой точки (x, r, j) при кручении вала равно

u1 = 0, u2 = r cos(j+u) - r cosj, u3 = r sin(j+u) - r sinj.

В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Матрица P имеет ненулевые элементы и , остальные равны нулю.

Запишем уравнение движения в проекциях на оси координат

= 0, , .

Общее решение первого уравнения имеет вид

где P(x,r)произвольная функция. Действительно, r = ,

=0.

По закону Гука модуль касательного напряжения P(x,r) пропорционален углу скашивания a элементарного волокна

P(x,r) = Ga,

где коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига и зависит от свойств материала (рис. 2). При повороте вокруг оси OO¢ двух близких сечений s(xs¢ = s(x+dx)угол относительного смещения равен

  Рис. 2  

du = u(x+dx) - u(x) = .

Волокно MM¢, находящееся на расстоянии r от оси OO¢ и параллельное оси, после смещения занимает положение MK. Угол скашивания волокна при кручении

a =

Итак,

Вычислим крутящий момент M, порождаемый касательным напряжением. Поскольку матрица P симметрична,

=

= .

Здесь J = - полярный момент инерции сечения вала.

При малых углах закручивания sin(u) » u. Привлекая уравнения движения, получим

=

= .

Приравнивая два выражения, приходим к уравнению крутильных колебаний вала

,

где a2 = G/r. Не ограничивая общности, можно считать, что левый конец жестко закреплен u(0,t) = 0, а на правом задан крутящий момент

GJ = g(t),

или упругое закрепление

GJ + k u(l,t) = g(t).

Здесь k – коэффициент жесткости. В начальный момент необходимо задать

u(x,0) = j(x), u(x,0) = y(x).

Поставленная задача возникает при бурении скважин. В аналогичных условиях работают валы машин и механизмов. Если на конец вала насажан массивный маховик с моментом инерции J0, граничное условие меняет вид

GJ + J0 = 0.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...