Распространение звука в газообразной среде
Сплошная среда, в которой вектор напряжения Pn направлен по нормали к площадке, называется идеальной. Формула
Pn = – p n
называется законом Паскаля, а величина p –давлением.
Газы и жидкости во многих случаях близки к идеальным средам. В идеальной среде матрица P диагональна,
.
Формула (8) определяет работу поверхностных сил по увеличению внутренней энергии среды F = - p divv.
Уравнения (9) для идеальной сплошной среды
содержат 6 неизвестных функций: давление p, плотность r, температура T (внутренняя энергия U является функцией T), три компоненты скорости. Система уравнений замыкается присоединением уравнения состояния. Газ называется совершенным, если выполняется уравнение Клапейрона
pV = R0T.
Здесь V – объем одного моля газа, R0 – постоянная величина. При массе одного моля M плотность равна r = M/V. В записи
p = rRT
уравнение применимо к любому объему газа. Здесь R = R0 /M – постоянная для каждого газа величина. Для воздуха
R = 287,042 
У совершенных газов теплоемкость c постояна, внутренняя энергия пропорциональна температуре U = cT.
Рассмотрим распространение малых возмущений в идеальном совершенном газе. Представим полную производную скорости по формуле (3)

и пренебрежем выражением в скобках как содержащим члены второго порядка малости. Пренебрежем также весом газа. Уравнение движения примет вид
.
Возьмем от обеих частей равенства дивергенцию
.
Представив уравнение неразрывности в виде , исключим div(rv).
.
Теплопроводность как медленный процесс не оказывает в газах существенного влияния на быстро протекающие процессы. Пренебрежем теплопроводностью и исключим из уравнения энергиидивергенцию divv и температуру T, используя уравнение состояния
.
Теперь уравнение энергии можно представить в виде
,
где константа g = называется показателем адиабаты газа.
Исключая давление, получим уравнение, описывающее изменение плотности
.
При малых колебаниях достаточно ограничиться линейным приближением. Для избыточного давления u = p – p0 получим волновое уравнение
,
где знаком «0» отмечены значения в невозмущенной среде,
.
Малые возмущения распространяются как волны давления со скоростью a0. Величина a0 в идеальном совершенном газе зависит только от температуры и называется скоростью звука. Для воздуха g = 1,405; при температуре 0°C скорость звука 331,3 м/сек.
В качестве начальных условий необходимо задать величину и скорость возмущения
u(M,0) = j(M), u(M,0) = y(M), M(x,y,z) Î D.
Границы дD1 с мягким покрытием гасят возмущение
u(M,t) = 0, M(x,h,z)Î дD1.
Гладкие твердые поверхности дD2 отражают возмущение
= 0, M(x,h,z)Î дD2.
Взаимодействие приходящих и отраженных волн давления порождает в помещениях большого объема и в природе эхо, зоны плохой слышимости, наложение звука и т.п.
|