Распространение звука в газообразной среде

Сплошная среда, в которой вектор напряжения P_n направлен по нормали к площадке, называется идеальной. Формула

P_n = – p n

называется законом Паскаля, а величина p –давлением.

Газы и жидкости во многих случаях близки к идеальным средам. В идеальной среде матрица P диагональна,

.

Формула (8) определяет работу поверхностных сил по увеличению внутренней энергии среды F = - p divv.

Уравнения (9) для идеальной сплошной среды

, ,

(18)

содержат 6 неизвестных функций: давление p, плотность r, температура T (внутренняя энергия U является функцией T), три компоненты скорости. Система уравнений замыкается присоединением уравнения состояния. Газ называется совершенным, если выполняется уравнение Клапейрона

pV = R₀T.

Здесь V – объем одного моля газа, R₀ – постоянная величина. При массе одного моля M плотность равна r = M/V. В записи

p = rRT

уравнение применимо к любому объему газа. Здесь R = R₀ /M – постоянная для каждого газа величина. Для воздуха

R = 287,042

У совершенных газов теплоемкость c постояна, внутренняя энергия пропорциональна температуре U = cT.

Рассмотрим распространение малых возмущений в идеальном совершенном газе. Представим полную производную скорости по формуле (3)

и пренебрежем выражением в скобках как содержащим члены второго порядка малости. Пренебрежем также весом газа. Уравнение движения примет вид

.

Возьмем от обеих частей равенства дивергенцию

.

Представив уравнение неразрывности в виде , исключим div(rv).

.

Теплопроводность как медленный процесс не оказывает в газах существенного влияния на быстро протекающие процессы. Пренебрежем теплопроводностью и исключим из уравнения энергиидивергенцию divv и температуру T, используя уравнение состояния

.

Теперь уравнение энергии можно представить в виде

,

где константа g = называется показателем адиабаты газа.

Исключая давление, получим уравнение, описывающее изменение плотности

.

При малых колебаниях достаточно ограничиться линейным приближением. Для избыточного давления u = p – p₀ получим волновое уравнение

,

где знаком «0» отмечены значения в невозмущенной среде,

.

Малые возмущения распространяются как волны давления со скоростью a₀. Величина a₀ в идеальном совершенном газе зависит только от температуры и называется скоростью звука. Для воздуха g = 1,405; при температуре 0°C скорость звука 331,3 м/сек.

В качестве начальных условий необходимо задать величину и скорость возмущения

u(M,0) = j(M), u(M,0) = y(M), M(x,y,z) Î D.

Границы дD₁ с мягким покрытием гасят возмущение

u(M,t) = 0, M(x,h,z)Î дD₁.

Гладкие твердые поверхности дD₂ отражают возмущение

= 0, M(x,h,z)Î дD₂.

Взаимодействие приходящих и отраженных волн давления порождает в помещениях большого объема и в природе эхо, зоны плохой слышимости, наложение звука и т.п.