Главная Обратная связь

Дисциплины:






Лабораторная работа №1. Исследование разностных схем задачи переноса



 

В лабораторной работе рассматривается одномерная задача переноса

ut +a(x,t) ux(x,t) = f(x,t), 0< x <1, 0< t, a(x,t)>0,

u(x,0) = j(x), 0£ x £1, u(0,t) = g(t), 0< t.

Исследуем разностные схемы «левый явный уголок», «левый неявный уголок», «квадрат», схему Лакса, «крест», соответствующие шаблонам №1, 3, 5, 6, 11 таблицы 3. Примем за исходные следующие значения шагов и предельные значения индексов по пространству и времени

h = 0,05, t = 0,02, M = 20, K = 50.

Схема «левый явный уголок»

Разностная схема «левый явный уголок» (пример 2.1) приводит к вычислительному процессу

, 0£ m £ M,

, 1< m £ M,

где xm = mh, tk = kt, k £ K–1.

Реализуем вычисления в виде электронной таблицы Excel, приведенной в таблице 4

Таблица 4. Разностная схема «левый явный уголок»

  A B C D E F G V W
                 
  Задача переноса    
  Схема «левый явный уголок»    
h= 0,05              
t= 0,02          
r= t/h              
k tk\xm x0 x1 x2 x3 x4 x19 x20
t0
t1
t2

Ячейки A4:A7, B7 содержат текстовые подписи, B4, B5, B6 – исходные константы. Для занесения констант выделяем блок A4:B9 и вводим последовательно значения

h=; t=; r=; k=; 0; =A8+1; 0,05; 0,02; =B5/B4; tk\xm; 0; =B8+B4.

Здесь знак «;» означает нажатие клавиши Enter. Поскольку при нажатии Enter курсор перемещается в пределах выделенного блока по столбцам, осуществляется ввод в таблицу размером 6´2. Для ввода адреса ячейки достаточно щелкнуть мышью. Для исправления ошибки, обнаруженной после нажатия клавиши Enter, достаточно, нажимая Enter, выполнить полный проход по блоку до возвращения в ячейку.

Ячейки A4:A6 выравниваем по правому краю, B4:B6 – по левому краю, A7:B9 – по центру. Для установки стиля «нижний индекс» используем комбинацию клавиш

Формат ® Ячейки ® Шрифт

и ставим галочку в окне «нижний символ».

Производим заполнение электронной таблицы.



C7=0, D7=C7+$B$4,

C8=j(C7), C8 Þ D8, C9=g($B9),

D9=D8+$B$5*f(D$7;$B8) - (D8 - C8)*$B$6*a(D$7;$B8),

где j(x), g(t), f(x,t), a(x,t) – функции, определяемые задачей.

D7:D9 Þ W7:W9, A9:W9 Þ A58:W58.

 

Схема «левый неявный уголок»

Разностная схема «левый неявный уголок» приводит к вычислительному процессу (пример 2.2)

, 0£ m £ M,

, 0£ k £ K–1,

, 1< m £ M.

Составим систему команд

A7:W9-­,` ¯AA7,

AD9=AC9+( $B$5*f(AD$7;$B9)+AD8 -

AC9)/(1+ $B$6*a(AD$7;$B9)).

Внесем название схемы. Получим электронную таблицу 5.

 

Таблица 5. Разностная схема «неявный уголок»

  AA AB AC AD AE AW
k tk\xm x0 x1 x2 x20
t0
t1

 

Решение задачи завершается операциями

AD9 Þ AW9, AA9:AW9 Þ AA58:AW58.

 

Разностная схема «квадрат»

Разностная схема «квадрат» (пример 2.6) приводит к системе уравнений

, 0£ m £ M,

, 0£ k £ K–1, 1< m £ M,

+ .

Реализуем вычислительный процесс.

AA7:AW8-­,` ¯BA7,

BC7:BW7 ® BC6:BW6-­,` ¯BC7,

BD7= $B4/2, BB8 = -$B5/2.

BD9=BC9 - BD8+BC8+2*($B$5*f(BD$7;$BB9)+BD8 - BC9)/

(1+$B$6*a(BD$7;$BB9)).

Вставим название схемы. Получим электронную таблицу 6.

 

Таблица 6. Разностная схема «квадрат»

  BA BB BC BD BE BW
x0 x1 x2 x20
k tk\xm h/2 x3/2 x39/2
-t/2
t1/2

 

Решение задачи по схеме «квадрат» завершается операциями

BD9 Þ BW9, BA9:BW9 Þ BA58:BW58.

 

Схема Лакса

Разностная схема Лакса (пример 2.8) приводит к вычислительному процессу

, 0£ m £ M,

,

,

,

+ ,

0< m < M, 0< k < K.

Составим систему команд

BA6:BW8-­,` ¯CA6, A9:D9-­,` ¯CA9:CD9,

CA9=CA8+0,5, CB8=0, СB9=CB8+$B5/2, CC9=g(CB9),

СD9 = 0,5*( CC8+СD8+$B$5*f(СD$7;$CB8) -

(СD8 - СC8)*$B$6 *a(СD$7;$CB8)),

CA9:CD9 Þ CA10:CD10, CC9 Del,

СD10 = 0,5*(CE9+СD9+$B$5*f(СD$6;$CB9) -

E9 - СD9)*$B$6*a(СD$6;$CB9)).

CD9:CD10-­,` ¯CW9:CW10,

CW10=2*CW9 - CW8+( $B$5*f(CD$6;$CB9)

+2*(CW8 - CW9))/(1+ $B$6*a(CD$6;$CB9)),

Вставим название схемы. Получим электронную таблицу 7.

 

Таблица 7. Разностная схема Лакса

  CA CB CC CD CE CV CW
x0 x1 x2 x20 x0
k tk\xm h/2 x3/2 x39/2
0,5 t/2          
t1        

 

Решение задачи по схеме Лакса завершается операциями

CA9:CW10-­,` ¯CA11, ` ¯CA13, ` ¯CA15, ` ¯CA17,

CA9:CW18-­,` ¯CA19, ` ¯CA29, ` ¯CA39, ` ¯CA49,

CA9:CW58-­,` ¯CA59.

 

Схема «крест»

Разностная схема «крест» (пример 2.7) приводит к системе уравнений

, 0£ m £ M,

, 0< k < K,

, 0< m < M,

.

Реализуем вычислительный процесс.

СA6:СW11-­,` ¯DA6,

DD8áj(DD6)ñ-­,` ¯DD9áj(DD7)+0,5*($B$5*f(DD$6;$CB8) -

(DD8 - DC9)*$B$6*a(DD$6;$CB8))ñ,

DD10= DD8+$B$5*f(DD$6;$CB9) -

(DE9 - DD9)*$B$6*a(DD$6;$CB9) ,

DD11= DD9+$B$5*f(DD$7;$CB10) -

(DD10 - DC10)*$B$6*a(DD$7;$CB10) .

Вставим название схемы. Получим электронную таблицу 8.

 

Таблица 8. Разностная схема «крест»

  DA DB DC DD DE DV DW
  x1/2 x3/2 x37/2 x39/2
k tk\xm x0 x1 x2 x19 x20
0,5 t1/2  
t1
1,5 t3/2  

 

Решение задачи по схеме «крест» завершается операциями

DD9:DD11 Þ DW9:DW11,

DW10=DV10+DV8 - DW8+2*($CB$9*f(DW$7;$CB9)

+DW8- DV8)/(1+$B$6*a(DW$7;$CB9)),

DA10:DW11-­,` ¯DA12, ` ¯DA14, ` ¯DA16, ` ¯DA18,

DA10:DW19-­,` ¯DA20, ` ¯DA30, ` ¯DA40, ` ¯DA50,

DA9:DW58-­,` ¯DA60.

 

При значениях t из диапазона {0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1} сравним результаты расчетов, полученных по разным схемам. При t = 0,02 выберем из таблиц соответствующие значения и поместим в таблицу 9. Туда же поместим начальное значение. Выполним операции

A62:A64= {-1; 0; 10}, A65=A64+A$65, A65 Þ A68,

B62=OFFSET(B$9;$A62;0), B62 Þ W62,

B62:W62 Þ B68:W68.

Результаты расчета по схеме «явный левый уголок», включая начальное значение и строку аргументов xm, скопированы в таблицу 9. Для копирования значений из таблицы «неявный левый уголок» в ячейку A69 заносим 10, и повторяем операции

A70=A70+A$70, A70 Þ A74,

B69=OFFSET(AB$69;$A70;0), B69 Þ W69,

B69:W69 Þ B73:W73,

причем команду OFFSET достаточно копировать и исправить добавлением подчеркнутого символа A.

 

Таблица 9. Данные для построения диаграммы

  A B C D E F G V W
  Диаграмма задачи переноса    
-1 t\x x0 x1 x2 x3 x4 x19 x20
0,2
0,4
0,2
0,4

 

Аналогично переносятся значения из других таблиц. Для схем Лакса и Кранка – Николсона начальное значение 10 заменяется 20.

Столбец B при копировании значений из таблицы «квадрат» придется исправить

B74= OFFSET(B$9;$A74;0), B74 Þ W78.

Полная таблица занимает блок A62:W88 (без заголовка). Для построения диаграммы выделим B62:W88 и нажмем кнопку «Мастер диаграмм» или

Вставка ® Вставить диаграмму.

Построение диаграммы выполняется в 4 шага и сопровождается последовательным открыванием окон. В первом открывшемся окне выбираем тип диаграммы (линии ® только линии). После команды «Далее» во втором окне устанавливаем флажки

«Ряды в строках»,

«Первая строка как надпись»,

«Первый столбец как надпись».

Третье окно можно пропустить. В четвертом окне вносим заголовок диаграммы «Задача переноса» и подписи осей X и U.

Готовую диаграмму растягиваем до размера ¾ экрана по высоте и ширине. Для редактирования диаграммы после щелчка правой кнопкой мыши следует выбрать «Правка».

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...