Дисциплины:
Лабораторная работа №2. Исследование разностных схем задачи теплопереноса
В лабораторной работе рассматривается одномерная задача теплопереноса
ut +a(x,t) uxx(x,t) = f(x,t), 0< x <1, 0< t, a(x,t)>0,
u(x,0) = j(x), 0£ x £1,
–g0ux(0,t) + s0u(0,t) = g0(t), g1ux(0,t) + s1u(0,t) = g1(t), 0< t,
где gi при i = 0, 1 независимо принимает значения 0 или 1.
Исследуем разностные схемы «неявный треугольник» и Кранка – Николсона, соответствующие шаблонам №7, 12 таблицы 3.
Схема «неявный треугольник»
Схема «неявный треугольник» (пример 2.3) приводится к системе уравнений
, 0£ m £ M,
, 1< m < M,
0£ k £ K–1,
Здесь xm = (m – g0/2)h, tk = kt, r = t/h2,
, i = 1, 2,
.
На каждом временном слое решим систему уравнений методом прогонки. На первом этапе преобразуем систему к виду
, m = 1,…, M-1.
Подставив формулу в разностное уравнение, найдем
.
Для уменьшения количества операций преобразуем формулы
,
.
Из первого уравнения системы вытекает
.
Привлекая последнее уравнение системы, получим
откуда
.
Остальные значения 
получаются обратным пересчетом
, m = M-1,…, 1.
Примем предельные значения индексов по пространству и времени равными M = 20, K = 50. Реализуем вычисления в форме электронной таблицы 10.
Здесь h=, t=, r=, tk\xm, g, s, l, k – текстовые подписи, gi, si – константы, определяемые краевыми условиями задачи.
Таблица 10. Разностная схема «неявный треугольник»
| A | B | C | D | E | F | G | … | V | W | |
| … | ||||||||||
| Задача теплопереноса | … | |||||||||
| Схема «неявный треугольник» | … | |||||||||
| h= | h | g | s | R | G | … | ||||
| t= | 0,02 | g0 | s0 | R0 | G0 | … | ||||
| r= | t/h2 | g1 | s1 | R1 | G1 | … | ||||
| k | tk\xm | x0 | x1 | x2 | x3 | x4 | … | x19 | x20 | |
| t0 | 
| 
| 
| 
| 
| … | 
| 
| ||
| 
| 
| 
| 
| … | 
| ||||
| 
| 
| 
| 
| … | 
| 
| |||
| t1 | 
| 
| 
| 
| 
| … | 
| 
|
Внесем в таблицу константы и вычислим
B4 = 2/(40 - C5 - C6), B6 = B5/B4^2,
E5 = C5*(2 - D5*B$4)/(2+D5*B$4),
F5 = 1 - C5*(2*B$4/(2+D5*B$4) - 1), E5:F5 Þ E6:F6,
C7 = - C5*$B4/2, D8=C7+$B4, A8:B8 = 0, C8 = j(C7),
C7:C8 Þ W7:W8, A9 = A8+1, B11 = B8+$B$5,
C9 = $E$5, C10 = $F$5*g0(B11),
D9 = $B$6/($B$6*(2 - C9)+1/a(D$7;$B11)),
D10 = D9*C10+(1 - (2 - C9)*D9)*(D8+$B$5*f(D$7;$B11)),
D9:D10 Þ V9:V10, W10 = $F$6*g1(B11),
W11 = (W10+$E$6*V10)/(1 - $E$6*V9),
V11 = V9*W11+V10, V11ÞC11.
Решение задачи по схеме «неявный треугольник» завершается операциями копирования – вставки.
A9:W11-,` ¯A12, ` ¯A15, ` ¯A18, ` ¯A21,
A9:W23-,` ¯A24, ` ¯A39, ` ¯A55, ` ¯A70,
A9:W84-,` ¯A85.