Главная Обратная связь

Дисциплины:






Лабораторная работа №3. Исследование разностных схем волновой задачи



 

В лабораторной работе рассматривается одномерная волновая задача

utt +a(x,t) uxx(x,t) = f(x,t), 0< x <1, 0< t, a(x,t)>0,

u(x,0) = j(x), ut(x,0) = j(x), 0£ x £1,

–g0ux(0,t) + s0u(0,t) = g0(t), g1ux(0,t) + s1u(0,t) = g1(t), 0< t,

где gi при i = 0, 1 независимо принимает значения 0 или 1.

Исследуем разностные схемы «крест», «прямоугольник» и Кранка – Николсона, соответствующие шаблонам №11, 13, 14 таблицы 3.

 

Схема «крест»

Явная схема «крест» (пример 2.4) приводится к системе равенств

, 0£ m £ M,

,

1< m < M,

k £ K–1,

Здесь xm = (m – g0/2)h, tk = kt, r = (t/h)2,

, i = 1, 2,

.

Примем предельные значения индексов по пространству и времени равными M = 20, K = 50. Реализуем вычисления в форме электронной таблицы 12.


 

Таблица 12. Разностная схема «крест»

  A B C D E F G V W
                 
  Волновая задача    
a Схема «крест»    
h= h g s R G at2    
t= 0,02 g0 s0 R0 G0 ar  
r= (t/h)2 g1 s1 R1 G1 t2  
k tk\xm x0 x1 x2 x3 x4 x19 x20
t0
t1
t2

 

Внесем в таблицу константы и вычислим

B4 = 2/(40 - C5 - C6), B6 = (B5/B4)^2, G4=B5^2,

E5 = C5*(2 - D5*B$4)/(2+D5*B$4),

F5 = 1 + C5*(2*B$4/(2+D5*B$4) - 1), E5:F5 Þ E6:F6,

C7 = - $C5*$B4/2, D7 = C7+$B4, C8 = j(C7), C8 Þ D8,

D7:D8 Þ W7:W8, A8:B8 = 0, A9 = A8+1,

B9 = B8+$B$5, A9:B9 Þ A10:B10,

C10 = $E$5*D10+$F$5*g0(B10),

D10 = 2*D9 - D8+$B$6*a(D$7;$B9)*

(C9 - 2*D9+E9)+$G$4*f(D$7;$B9),

C10:D10 Þ C9:D9,

D9 = D8+$B$5*y(D$7)+0,5*($B$6*a(D$7;$B8)*

(C8 - 2*D8+E8)+$G$6*f(D$7;$B8)),

D9:D10 Þ V9:V10, W9=$E$6*V9 +$F$6*g1(B9),

W9 Þ W10, A10:W10 Þ A58:W58.

Решение волновой задачи по схеме «крест» завершено.

 

Схема «прямоугольник»

Схема «прямоугольник» (пример 2.10) приводится к системе уравнений

, 0£ m £ M,

,

, 1£ m £ M, 0£ k £ K–1.

Здесь

.

На каждом полуцелом временном слое значения вычисляются аналогично тому, как это производится в неявной схеме задачи теплопроводности, а получаются пересчетом.



Внесем значение a и реализуем вычислительный процесс.

G4=A3*G6, G5=A3*B6,

A7:W9-­, ` ¯AA7, AA9:AW9 ®AA12:AW12,

AA12:AB12-­, ` ¯AA16,…AC13 = E$5,

AC14 = $A$3*($F$5*g0(AB16) +

$E$5*(2*AD12 - AD8) - 2*AC12+AC8)+ AC12 - $E$5*AD12,

AD13 = $G$5/($G$5*(2 - AC13)+1/a(AD$7;$AB12)),

AD14 = AD13*AC14+

(1 - (2 - AC13)*AD13)*(AD12+$G$4*f(AD$7;$AB12)),

AD13:AD14 Þ AV13:AV14, AC14-­, ` ¯AW14,

AW14 = $A$3*(F$6*g1(AB16)+

$E$6*(2*AV12 - AV8) - 2*AW12 + AW8)+ AW12 - $E$6*AV12,

AW15 = (AW14+E$6*AV14)/(1 - E$6*AV13),

AV15 = AV13*AW15+AV14, AV15ÞAC15,

AC16 = 2*AC12 - AC8+(AC15 - AC12)/$A$3, AC16 Þ AW16.

Вставим название схемы. Получим электронную таблицу 13.

Решение задачи по схеме «прямоугольник» завершается операциями копирования – вставки.

AA13:AW16-­,` ¯AA17, ` ¯AA21, ` ¯AA25, ` ¯AA29,

AA13:AW32-­,` ¯AA33, ` ¯AA53, ` ¯AA73, ` ¯AA93,

AA17:AW112-­,` ¯AA113.


 

Таблица 13. Разностная схема «прямоугольник»

  AA AB AC AD AE AV AW
t1
   
 
 
t2

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...