Главная Обратная связь

Дисциплины:






Иррациональные уравнения



Экспресс – курс подготовки

К ЕГЭ по математике

 

Степенные выражения

 

Определения и свойства степени Примеры
Определения: 1) a 1 = а (а R) 2) аn = а ∙ а ∙... a R, n N, n 0) 3) а 0=1 (а 0, а R) 4) а -n = 0, а с R, n N) 5) = (n N, m Q, а >0) (-1,7в)1 = -1,7в (-1,7в)3 = (-1,7в) (-1,7в) (-1,7в) = -4,913 (—1,7 в)0=1, если в 0   (—0,25) -3 = = (-4)3 = 64 = = = = 8
Свойства: Примеры
  1. ах · ау = ах+у
  1. х)у = аху
  1. ах : ау = ах-у
  1. ах · bх = (аb)х
  1. =
  m1,5 ∙ m-2 = m1,5+(-2)= m-0,5 l,5.1,5 -0,5х= 1,52,5х =(0,25)-2 = 42 = 16 (5х)2 = 5= (52)х = 25х   m1,5 : m-2 = m1,5-(-2)= m3,5 l,5: 1,5 -0,5х= 1,53,5х 3· 5= (3∙5)=15   =34=81
Свойства арифметических корней n-степени Примеры
  1) Если а 0, b≥0. то = ·  
2) Если а 0, b>0. то = = = =3
3) Если а 0, n N, k N, то =   -3 = -3 =-2
4) Если а 0, n N, k N, то = =
5) Если а 0, n N, k N, то =

Преобразования степенных и иррациональных выражений

Пример 1. Вычислите: 4∙ + 0,50.

Решение.

Первый способ. Используя определения степени с нулевым и дробным показателями, получаем: 4∙ + 0,50 =4· +1 = 4∙3+1= 13.

 

Второй способ. Используя определения степени с натуральным и нулевым показателями и свойства степеней, получаем: 4∙ + 0,50 =4∙ +1= 4∙ + 1 = 4∙3+1= 13

 

Ответ 13.

 

Пример 2. Найдите значение выражения .

Решение. Учитывая, что 81 = 27·3, а 24 = 8·3, и используя формулу = · , получим: = = 3 =3 =

Ответ: .

 

Пример 3. Упростите выражение .

Решение. = = = = =

Ответ:

 

Пример 4. Выполните действия: ( )2 .

Решение. Используя определение степени с дробным показателем = (n N, m Q, а >0), а также свойства степеней х)у = аху, ах · ау = ах+у, получаем:

( )2 = · = · = =

Ответ:

Пример 5. Выполните действия:

Решение. = = = =

Ответ: .

 

Пример 6. Упростите выражение

Решение. = = = =3а

Ответ:3а.

 

Иррациональные уравнения

 

Иррациональные уравнения, встречающиеся на экзамене, чаще всего решаются методом возведения в степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, или заменой неизвестного. Не следует забывать, что в степень возводятся обе части уравнения.



Так как при возведении в степень обеих частей уравнения новое, получившееся после

этой операции уравнение, не всегда равносильно искомому, то нужно либо делать проверку, либо с самого начала выписывать неравенства, задающие область допустимых значений неизвестной величины. При осуществлении проверки значение неизвестной являющееся решением необходимо подставлять только в первоначальное уpaвнение, а не в какие-то промежуточные.

Рассмотрим применение некоторых методов решения иррациональных уравнений.

Пример 1. Решите уравнение = 2х + 5.

Решение. Возведем исходное уравнение = 2х + 5 в степень, равную показателю корня ( )2 = (2х + 5)2 5 - 4х =4х2+ 20х+25 4х2 + 24х + 20 = 0;

х2 + 6х + 5 = 0; х = -5 или х = -1.

Проверка. х = -5: = 2·(-5) + 4

= -5

Это неверное числовое равенство, значит, число -5 не является корнем данного уравнения.

х = - 1: = 2·(-1) + 4

= 3

Это верное числовое равенство, значит, число -1 является корнем данного уравнения.

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...