Логарифмические уравнения
Пример 1. Найдите произведение корней уравнения 1оg π(х2 + 0,1) = 0.
Решение. По определению логарифма получаем х2 + 0,1 = π0, т. е. х2+0,1 = 1, откуда х2 = 0,9.
Итак, х 1,2 = ± , х1 ·х2 = - ∙ = - 0,9.
Пример 2. Какому промежутку принадлежит корень уравнения !оg5(2х) = lоg536 — 1оg54?
1) [0; 4]; 2) (4; 10); 3) [10; 18]; 4) (18; 24).
Решение. Используя свойство логарифмов, Получаем: lоg5(2х) = lоg5 , или lоg5(2х) = 1оg59. Полученное уравнение равносильно уравнению 2х = 9, следовательно, х = 4,5. Т. к.
4,5 (4; 10), верный ответ №2
Пример 3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1оg 0,4(5 - 2х) - 1оg 0,4 2 = 1.
1) (- ; -2); 2) [-2; 1]; 3) [1; 2]; 4) (2; + ).
Решение. 1оg 0,4(5 - 2х) - 1оg 0,4 2 = lоg 0,4 т. к. lоg 0,4 =1, то = 0,4
= ; 25-10х = 4; -10х = - 21 х = 2,1
Ответ: 4.
Пример 4. Найдите сумму корней уравнения lg(4х — 3) = 2lgх.
Решение. Уравнение lg(4х — 3) = 2lgх равносильно системе
4х - 3 = х2,
х> .
4х - 3 = х2 х2 - 4х + 3 = 0; х1 = 1, х2 = 3; 1 > , 3 > , значит, числа 1 и 3 — корни исходного уравнения; 1 + 3 = 4.
Ответ: 4.
Показательные уравнения
Пример 1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 
1) (0; 1); 2)(1;2); 3) (2; 3); 4) (3; 4).
Решение. Используя свойство степени (ах)у = аху, получаем:

Так как = 5-1, то 52(З-х) = 5-1 Степени с одинаковым основанием равны, значит, равны их показатели: 2(3 - х) = -1; 6 - 2х = -1, - 2х = -7, х = 3,5
Поскольку 3,5 (3; 4), верным является ответ №4.
Ответ: 4.
Пример 2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
2 х-1 + 2 х+1 = 20.
1) (4; 5); 2) [3; 4]; 3) (2; 3); 4) [1; 2].
Решение. 2 х-1 + 2 х+1 = 20; + 2·2х = 20; 2х + 4∙2х = 40; 5 ·2х = 40; 2х = 8; х = 3;
х [3;4].
Ответ: 2.
Пример 3. Найдите произведение корней уравнения = 243.
Решение. = 243; = 35; х 2 - 1 = 5;
Первый способ
| Второй способ
| х2=6; х1,2=
х1·х2 = = -6
| х2 – 6 = 0
х1·х2 = -6 (по теореме Виета)
|
Ответ: 1
Формулы дифференцирования основных функций (Производные).
1) (хm)´ = m хm-1
2) ( )´ =
3) ´ =
4) (ех)´ = ех
5) (ах)´ = ах1nа
6) (lnx)´ =
7) (lоgх)´ =
| 8) (sin x)´ = cos x
9) (cos x)´ = - sin x
10) (tg x)´ = sес2 х =
11) (ctg x)´ = - cоsес2х =
12) (arcsin x)´ =
13) (агссоs х)´ = -
|
|