Матриці та дії над ними
Вступ
Методичні вказівки та індивідуальні завдання з курсу вищої математики за темами „Лінійна та векторна алгебра” та „Аналітична геометрія на площині та у просторі” складено відповідно до програми курсу.
Мета розробки: перевірка знань студентів з основних понять і методів курсу, прищеплення у студентів навичок самостійної роботи.
Типові розрахунки можуть бути використані викладачами для контролю знань студентів, для проведення аудиторних індивідуальних практичних занять, а також як домашні індивідуальні завдання.
Розділ 1. Лінійна алгебра
Матриці та дії над ними
Поняття матриці та відповідний розділ математики мають важливе значення для економістів, оскільки велика кількість досліджувальних об’єктів і процесів досить просто, а головне – компактно, подається в матричній формі.
Матрицею розміру називається множина з елементів , розміщених у вигляді прямокутної таблиці з рядків і стовпців:
| (1.1)
| ,
| (1.2)
| де – елемент матриці; – номер рядка; – номер стовпця.
Матриці бувають різних типів: прямокутні, квадратні, діагональні, одиничні, нульові та інші.
Квадратною матрицею називається матриця, в якій кількість рядків і стовпців однакова. Їх кількість вказує розмір матриці. Головною діагоналлю квадратної матриці називається діагональ, яка проходить через верхній лівий та нижній правий кути матриці, тобто сукупність елементів .
Квадратну матрицю, в якій всі елементи, окрім тих, що розташовані на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називають діагональною матрицею.
Діагональну матрицю, в якій всі елементи дорівнюють одиниці, називають одиничною і позначають літерою .
.
| (1.3)
| Матриця називається трикутною, якщо всі її елементи під (над) діагоналлю дорівнюють нулю.
Нульовою матрицею називається матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю.
Над матрицями, як і над числами, можна виконувати різні операції, причому деякі з них – аналогічні операціям над числами, а деякі – специфічні.
Розрізняють наступні дії над матрицями:
1. Операція порівняння: дві матриці та називаються рівними , якщо рівні їх відповідні елементи, тобто .
2. Множення матриці на число: добутком матриці на число називається матриця , елементи якої визначаються за формулою
.
| (1.4)
| 3. Додавання та віднімання матриць: сумою двох матриць і називається матриця , елементи якої визначаються за формулою
.
| (1.5)
| Додавати можна матриці лише однакового розміру, тобто матриці з однаковою кількістю рядків і стовпців.
Властивості операцій додавання та віднімання матриць:
- (комутативність);
- (асоціативність);
- (дистрибутивність);
- (нейтральність нульової матриці).
4. Транспонування матриці: транспонованою матрицею до матриці називається така матриця, в якій рядки та стовпці міняються місцями, і позначається літерою .
5. Множення матриць: добутком двох матриць і називається матриця , елементи якої визначаються за формулою
.
| (1.6)
| Перемножать можливо лише такі дві матриці, в яких кількість стовпців першої збігається з кількістю рядків другої:
.
| (1.7)
| Добутком двох матриць є матриця, в якій кількість рядків дорівнює кількості рядків першої матриці, а кількість стовпців – кількості стовпців другої матриці.
Властивості добутку матриць:
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
|