Вектори у декартовій системі координат
У прямокутній декартовій системі координат розглянемо довільний вектор (рис. .6).
Вектор називають полярним радіусом-вектором точки М. Спроектуємо цей вектор на координатні осі. Інакше кажучи, розкладемо вектор на складові вектори за координатними осями. Як показано на рис. 2.6 точки – проекції точки на відповідні координатні осі.
Вектори – складові вектора за відповідними координатними осями.
| Рис. 2.6
| Вектор є сумою векторів , тобто
.
| (2.3)
| Кожний з цих складових векторів можна надати у вигляді: , , , де – базисні вектори декартової системи координат у просторі. Підставляючи ці значення в (2.3), одержуємо:
,
| (2.4)
| де – скалярні величини, які називаються координатами радіус-вектора у заданому базисі.
Точка має координати свого радіус-вектора , тобто . Координати точки у просторі або її радіус-вектор однозначно вказують на її положення в просторі відносно вибраної системи координат.
Довільний вектор можна надати у вигляді:
.
| (2.5)
| Подання вектора у вигляді суми компонентів (2.5) називається розкладанням вектора за координатним базисом(рис. 2.7).
Довжина (модуль) вектора визначається за формулою
.
| (2.6)
|
| Рис. 2.7
| На рисунку 2.7 вектор утворює з координатними осями кути відповідно. Тоді називаються напрямними косинусами вектора . Очевидно, напрямні косинуси та модуль вектора повністю визначають положення вектора у просторі. Враховуючи властивості проекції вектора на вісь, маємо:
Лінійні операції над векторами у координатній формі:
Дано вектори та :
1) додавання та віднімання
;
| (2.9)
| ;
| (2.10)
| 2) множення вектора на скаляр
.
| (2.11)
| Умови колінеарності двох векторів та визначаються співвідношенням
|