Главная
Обратная связь
Дисциплины:
|
Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола та парабола
Коло – це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки , яку називають центром кола; – радіус кола.
Рівняння кола має вид (3.12). Якщо центр кола співпадає з початком координат, то рівняння кола має вид (3.13)
| ;
| (3.12)
| .
| (3.13)
| Рис. 3.5
|
| Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней яких від двох заданих точок та , що називаються фокусами, є величина стала , причому ця величина більша за відстань між фокусами.
| та – фокуси еліпса;
– велика піввісь;
– мала піввісь;
– фокусна відстань;
– ексцентриситет;
– рівняння директрис.
| Рис. 3.6
|
| Канонічне рівняння еліпса з фокусами на осі має вид
.
| (3.14)
| Основна властивість еліпса полягає у співвідношенні
.
| (3.15)
| Форма еліпса характеризується ексцентриситетом. Значення ексцентриситету оцінює «сплющеність» еліпса.
.
| (3.16)
| Якщо , то при маємо коло, при , – відрізок. Це випадки виродженого еліпса.
Відстань деякої точки еліпса до його фокусів називаються фокальними радіусами:
– правий,
– лівий,
| (3.17)
| .
| (3.18)
| Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких від двох заданих точок та , що називаються фокусами, є величина стала , причому ця величина менша за відстань між фокусами.
| та – фокуси гіперболи;
– дійсна піввісь;
– уявна піввісь;
– фокусна відстань;
– ексцентриситет;
– рівняння директрис;
– рівняння асимптот.
| Рис. 3.7
|
| Канонічне рівняння гіперболи з фокусами на осі має вид
.
| (3.19)
| Основна властивість гіперболи полягає у співвідношенні
.
| (3.20)
| Значення ексцентриситету гіперболи
.
| (3.21)
| Відстань деякої точки гіперболи до його фокусів називаються фокальними радіусами:
– правий,
– лівий,
| (3.22)
| .
| (3.23)
| Параболоюназивається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки , яка називається фокусом, і від заданої прямої , яка називається директрисою.
|
– фокус параболи;
– рівняння директриси.
| Рис. 3.8
|
| Канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі має вид
.
| (3.24)
| Якщо , то вітки параболи розташовані праворуч, а якщо – ліворуч.
Парабола симетрична відносно осі : якщо , то вітки даної параболи розташовані догори, а якщо – донизу.
Індивідуальне завдання за темою „Аналітична геометрія на площині”
Завдання І.Задані координати вершин трикутника АВС. Знайти:
1) рівняння сторони АВ, записати його у вигляді рівняння у відрізках;
2) рівняння прямої BK, що проходить через точку В паралельно стороні АС;
3) рівняння висоти СD та її довжини;
4) кут між висотою CD та медіаною ВМ;
5) побудувати усі лінії.
Варіант 1
| A (6;2)
| B (30;-5)
| C (12;19)
| Варіант 2
| A (4;3)
| B (-12;-9)
| C (-5;15)
| Варіант 3
| A (-1;7)
| B (11;2)
| C (17;10)
| Варіант 4
| A (1;1)
| B (-15;11)
| C (-8;13)
| Варіант 5
| A (-14;10)
| B (10;3)
| C (-8;27)
| Варіант 6
| A (7;1)
| B (-5;-4)
| C (-9;-1)
| Варіант 7
| A (-2;1)
| B (-18;-11)
| C (-11;13)
| Варіант 8
| A (10;-1)
| B (-2;-6)
| C (-6;-3)
| Варіант 9
| A (-12;6)
| B (12;-1)
| C (-6;23)
| Варіант 10
| A (8;0)
| B (-4;-5)
| C (-8;-2)
| Варіант 11
| A (11;0)
| B (-5;4)
| C (-1;-1)
| Варіант 12
| A (10;2)
| B (-6;6)
| C (-2;1)
| Варіант 13
| A (14;0)
| B (-2;4)
| C (2;-1)
| Варіант 14
| A (13;2)
| B (-3;6)
| C (1;1)
| Варіант 15
| A (11;3)
| B (-5;7)
| C (-1;2)
| Варіант 16
| A (13;-1)
| B (-3;3)
| C (1;-2)
| Варіант 17
| A (11;-2)
| B (-5;6)
| C (-1;1)
| Варіант 18
| A (13;0)
| B (-3;4)
| C (1;-1)
| Варіант 19
| A (11;-1)
| B (-5;3)
| C (-1;-2)
| Варіант 20
| A (13;3)
| B (-3;7)
| C (1;2)
| Варіант 21
| A (6;2)
| B (30;-5)
| C (12;19)
| Варіант 22
| A (4;3)
| B (-12;-9)
| C (-5;15)
| Варіант 23
| A (-1;7)
| B (11;2)
| C (17;10)
| Варіант 24
| A (1;1)
| B (-15;11)
| C (-8;13)
| Варіант 25
| A (-14;10)
| B (10;3)
| C (-8;27)
| Варіант 26
| A (7;1)
| B (-5;-4)
| C (-9;-1)
| Варіант 27
| A (-2;1)
| B (-18;-11)
| C (-6;-3)
| Варіант 28
| A (10;-1)
| B (-2;-6)
| C (-6;23)
| Варіант 29
| A (-12;6)
| B (12;-1)
| C (-6;23)
| Варіант 30
| A (8;0)
| B (-4;-5)
| C (-8;-2)
| Завдання ІІ.Звести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку, визначити її вид та знайти всі її параметри. Побудувати криву другого порядку.
Варіант 1
|
| Варіант 2
|
| Варіант 3
|
| Варіант 4
|
| Варіант 5
|
| Варіант 6
|
| Варіант 7
|
| Варіант 8
|
| Варіант 9
|
| Варіант 10
|
| Варіант 11
|
| Варіант 12
|
| Варіант 13
|
| Варіант 14
|
| Варіант 15
|
| Варіант 16
|
| Варіант 17
|
| Варіант 18
|
| Варіант 19
|
| Варіант 20
|
| Варіант 21
|
| Варіант 22
|
| Варіант 23
|
| Варіант 24
|
| Варіант 25
|
| Варіант 26
|
| Варіант 27
|
| Варіант 28
|
| Варіант 29
|
| Варіант 30
|
|
Завдання ІІІ
Варіант 1
| Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що еліпс проходить через точку А(0;-3) та його ексцентриситет дорівнює .
| Варіант 2
| На параболі знайти точку, відстань якої від директриси дорівнює 10.
| Варіант 3
| Скласти рівняння кола, що проходить через лівий фокус еліпса і має центр у точці А(-1;-3).
|
Варіант 4
| Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що точки А( ;0) та В( ;1) лежать на гіперболі.
| Варіант 5
| Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо його фокуси F1(0; 0), F2(1; 1), а його велика вісь дорівнює 2.
| Варіант 6
| Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що парабола симетрична відносно осі ординат ОY та проходить через точки O(0;0) і N(6;-2).
| Варіант 7
| Скласти рівняння кола, що проходить через точку О(0;0) і має центр в точці А, де А – вершина параболи .
| Варіант 8
| Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що відстань між вершинами дорівнює 8, а відстань між фокусами дорівнює 10.
| Варіант 9
| Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що його мала вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами дорівнює 10.
| Варіант 10
| Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що парабола симетрична відносно осі абсцис та проходить через точки O(0;0) і М(1;-4).
| Варіант 11
| Скласти рівняння кола, що проходить через лівий фокус гіперболи і має центр у точці А(0;-3).
| Варіант 12
| Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що дійсна вісь гіперболи дорівнює 5, а вершини ділять відстань між центром і фокусом навпіл.
| Варіант 13
| Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через дві точки А(3;0) та В(2; ).
| Варіант 14
| Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що парабола має фокус Р(0;2) та вершину в точці О(0;0).
| Варіант 15
| Скласти рівняння кола, що проходить через фокуси гіперболи і має центр у точці А(0;-8).
| Варіант 16
| Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що дійсна вісь дорівнює 6, і гіпербола проходить через точку А(9;-4).
| Варіант 17
| Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що відстань між фокусами дорівнює 6, а ексцентриситет дорівнює .
| Варіант 18
| Скласти рівняння параболи, якщо відоме рівняння директриси кривої .
| Варіант 19
| Скласти рівняння кола, що проходить через фокуси еліпса і має центр у точці А, де А – його верхня вершина.
| Варіант 20
| Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2, а фокуси співпадають з фокусами еліпса з рівнянням .
|
|