Главная Обратная связь

Дисциплины:






П.2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа



Комплексные числа

Во множестве действительных чисел нельзя решить уравнение . Расширяя действительные числа, введем число - мнимая единица: . Тогда, уравнение будет иметь решение .

П.1. Алгебраическая форма комплексного числа

Определение. Комплексным числом называется число , где x -называется действительной частью комплексного числа и обозначается ; называется мнимой частью комплексного числа и обозначается . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа.

Пример. . , .

Определение. Модулем комплексного числа называется величина .

Определение. Аргументом комплексного числа называется число: . Главное значение аргумента обозначается:arg z= или .

Пример.

Определение. Два комплексных числа , называются равными , если , .

Определение. Комплексное число равно 0, если и .

Определение. Число называется сопряженным комплексному числу ,причем .

Пример. ; .

П.2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Комплексное число однозначно определяется парой действительных чисел поэтому можно установить взаимно однозначное соответствие между всевозможными точками плоскости и всевозможными комплексными числами.

Тогда, комплексное число можно изобразить с помощью точки плоскости, координаты которой - абсцисса, - ордината. Это геометрическая, интерпретация комплексного числа.

Рис. 1.

Тогда ось OX – где откладываются действительные части числа называется действительной осью.

OY – где откладывают мнимые части числа называется мнимой осью.

Такую плоскость будем называть «комплексной плоскостью».

Действительной и мнимой частям комплексного числа можно также поставить в соответствие координаты радиус-вектора .

Рис. 2.

Т.е. комплексное число можно изобразить с помощью вектора .

Тогда, длина вектора - есть модуль комплексного числа ; а угол есть аргумент комплексного числа:

.

Из определения модуля и аргумента следует, что если , то , .

Тогда, любое комплексное число, отличное от нуля, можно представить в тригонометрической форме:

Пример. Представить комплексное число в тригонометрической форме:

1)

2)





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...