Главная Обратная связь

Дисциплины:






Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными



Системы линейных уравнений.

 

Система вида

(1)

называется системой m линейных уравнений с n неизвестными.

Здесь - неизвестные, - коэффициенты при неизвестных, - свободные члены уравнений.

Если все свободные члены уравнений равны нулю, система называется однородной. Решением системы называется совокупность чисел , при подстановке которых в систему вместо неизвестных все уравнения обращаются в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной. Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

 

 

Система (1) может быть представлена в матричной форме с помощью уравнения

(2)

где

.

 

Совместность систем линейных уравнений.

 

Назовем расширенной матрицей системы (1) матрицу

Теорема Кронекера - Капелли. Система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:

.

 

 

Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными.

 

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

(3)

Теорема Крамера.Если главный определитель системы (3) , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

т.е. ,

где - определитель, получаемый из определителя заменой -го столбца на столбец свободных членов.

Если , а хотя бы один из ≠0, то система решений не имеет.

Если , то система имеет бесконечно много решений.

 

Систему (3) можно решить, используя ее матричную форму записи (2). Если ранг матрицы А равен n, т.е. , то матрица А имеет обратную . Умножив матричное уравнение на матрицу слева, получим:

.

Последнее равенство выражает способ решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Пример.Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение.Матрица невырожденная, так как , значит, существует обратная матрица. Вычислим обратную матрицу: .

Тогда

,

т.е. .

Задание. Решить систему методом Крамера.

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...