Главная Обратная связь

Дисциплины:






Метод простой итерации



Пусть дана система линейных уравнений. Предполагая, что диагональные коэффициенты

разрешим i–ое уравнение системы относительно xi

Полученную эквивалентную систему будем решать методом последовательных приближений.

Выберем нулевое приближение неизвестных xi(0), . В качестве xi(0) могут быть:

- значения, полученные путем решения системы прямым методом

- столбец свободных членов преобразованной системы

- нулевые значения

- произвольные значения

Далее последовательно строим приближения

Первое

Второе

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения xi(k) не станут близким к xi(k-1). Близость этих значений можно охарактеризовать максимальной абсолютной величиной их разности

,

так называемый критерий по абсолютным отклонениям или максимальной относительной величиной их разности.

,

так называемый критерий по относительным отклонениям (можно использовать при ).

При выполнении одного из этих условий итерационный процесс называется сходящимся.

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов системы удовлетворяли условию ,

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняются строго.

Это условие является достаточным для сходимости, но не является необходимым, то есть для некоторых систем итерации сходятся и при невыполнении этих условий.

Отметим, что сходимость итерационного процесса не зависит от выбора начального приближения xi(0). От выбора xi(0) зависит скорость сходимости.

Достаточно жесткое условие сходимости не позволяет решить данным методом любую систему линейных уравнений. Однако, если det A≠0, то такую систему можно привести к эквивалентной системе, с помощью линейного комбинирования уравнений исходной системы, удовлетворяющей условию сходимости.

Под линейным комбинированием понимают элементарные преобразования:

- перестановка двух уравнений

- умножение всех элементов уравнения на одно и то же число отличное от нуля

- прибавление к элементам какого-либо уравнения соответствующих элементов другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

В результате преобразований матрица системы должна быть эквивалентной исходной. Для проверки эквивалентности проверяют определители, которые по модулю должны быть равными, то есть могут отличаться только знаком.

Пример

Преобразуем систему, чтобы выполнялось условие сходимости

или

Преобразуем систему к виду расчетному

Или вторым способом

Метод Зейделя

представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестного xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1)-е приближения неизвестных x1, x2,…,xi-1.



Для первого приближения

Для второго приближения

Условие прекращения вычислений и условие сходимости аналогично методу итераций.

Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации. Он может сходиться даже в том случае, если расходится процесс итерации. Однако это бывает не всегда. Возможны случаи, когда процесс Зейделя сходится медленнее процесса итераций или даже расходится.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...