Главная Обратная связь

Дисциплины:






Метод простых итераций



Решение систем нелинейных уравнений

Многие практические задачи сводятся к решению систем нелинейным нелинейных уравнений. Пусть для вычисления неизвестных х1, х2,…,хn требуется решить систему из n нелинейных уравнений

В отличие от систем линейных уравнений не существует прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Лишь в отдельных случаях систему можно решить непосредственно. Например, для случая двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного.

Для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы.

Метод простых итераций

Систему уравнений представим в виде

Алгоритм решения этой системы методом простых итераций напоминает метод простых итераций, используемый для решения систем линейных уравнений.

Приближение с номером k можно представить в виде

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока изменения всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станут малыми, то есть до достижения заданной точности

Условие сходимости выглядит для нелинейных систем следующем образом

1. Составляется матрица

2. В выражения частных производных при вычислении значений коэффициентов матрицы используем начальное приближение

3. Определяем первую норму матрицы В

4. Условие сходимости

Определение начального приближения. Достаточно ответственный этап, так как от выбора начального приближения зависит условие сходимости итерационного процесса.

Для случая двух уравнений с двумя неизвестными начальное приближение находят графически.

Метод Зейделя

Имеет более быструю сходимость

Метод Ньютона

Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функций в ряд Тейлора, причем члены содержащие вторые и более высокие порядки производных, отбрасываются

1. Формируем матрицу Якоби

2.

2.1. Составляем и решаем систему из n-линейных уравнений относительно неизвестных приращений k – шаг итераций

Полученные значения используем для уточнения

Проверяем условие окончания

- обращенная матрица Якоби

- алгебраические дополнения элементов





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...