Главная Обратная связь

Дисциплины:






Решение линейной системы с помощью обратной матрицы



Раздел 5. Системы линейных уравнений.

Матричная запись линейной системы.

Определение.Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и п неизвестных , называется выражение следующего вида:

(1)

где - неизвестные, - коэффициент из i-го уравнения при неизвестном , ‑ свободный член i-го уравнения.

Введем обозначения:

- матрица, составленная из коэффициентов системы;

- столбец неизвестных, - столбец свободных членов.

Используя введенные обозначения и правила действия над матрицами, систему (1) можно записать в матричной форме

. (2)

Определение. Совокупность чисел называется решением системы(1), если после подстановки в каждое из уравнений (1) вместо неизвестных соответствующих чисел , это уравнение превращается в верное равенство.

Определение. Система(1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

Мы начнем с исследования частного случая системы (1), когда , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, и при этом матрица А системы невырожденная.

 

Решение линейной системы с помощью обратной матрицы.

Рассмотрим частный случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.

(1)

или

. (2)

В этом случае и матрица системы

- квадратная.

Покажем, что решение системы (1) сводится к решению матричного уравнения (2).

Действительно, связь между системой (1) и уравнением (2) заключается в том, что совокупность чисел является решением данной системы тогда и только тогда, когда

есть решение уравнения (2). Это утверждение означает выполнение равенства

или

.

Последнее равенство, как равенство матриц, равносильно системе равенств

которая означает, что - решение системы (1).

Итак, решение системы (1) сводится к решению уравнения (2).

Так как , то существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения (2) на слева, получим: . Отсюда, так как , находим

. (3)

Следовательно, если уравнение (2) имеет решение, то оно задается формулой (3). С другой стороны, подставив в (2) получим

,

поэтому (3) является единственным решением уравнения (2).

 

Пример. Записать в матричной форме и решить систему при помощи обратной матрицы

.

Решение. Запишем систему в матричной форме: . Здесь

, , .

Имеем:

.

Следовательно, существует обратная матрица . Найдем ее:

Наконец,

,

откуда .

 

Правило Крамера.

Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными

(1)

или

(2)



с действительными или комплексными коэффициентами.

Введем обозначения:

,

где D - определитель системы, а получается заменой элементов i –го столбца в D на столбец из свободных членов .

Теорема (правило Крамера). Если определитель линейной системы (1) отличен от нуля , то система имеет и притом единственное решение, которое определяется по формулам:

. (3)

Доказательство.

Было доказано, что решение системы (1) сводится к решению матричного уравнения (2) и так как , то существует единственное решение уравнения (2), которое определяется формулой

. (4)

Напомним, что

,

где - алгебраическое дополнение элемента матрицы А, тогда

.

Раскрывая определитель по i-му столбцу, получим, , следовательно,

откуда .

Пример. Записать в матричной форме и решить систему при помощи правила Крамера

.

Решение. Запишем систему в матричной форме: . Здесь

, , .

Имеем:

.

Найдем

, ,

Наконец,

, ,

откуда .

 

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...