Главная Обратная связь

Дисциплины:






Примеры решения задач. Задача № 8. Вычислить определенный интеграл



Задача № 8. Вычислить определенный интеграл

 

.

 

Решение. Данный интеграл приводится к табличному с помощью подстановки t = lnx. Отсюда . Определим пределы интегрирования новой переменной. При х = 1, t = ln1 = 0, при х = е, t = lne = 1. Произведем замену переменной и используем формулу Ньютона–Лейбница.

 

= = = arcsin1 – arcsin0 = .

 

 

Задача № 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

 

y = x2, , y = 0, x = 2 (x > 0).

 

Решение. Данную фигуру можно разбить на две криволинейные трапеции, площади которых соответственно равны: S1 и S2. (Рис. 4).

Тогда S = S1 + S2. Найдем абсциссу точки А –точки пересечения двух линий.

Отсюда , или х4 = 1, то есть х1 = –1 и х2 = 1. Так как по условию x > 0, то абсцисса точки А равна 1.

 

 

у

 

2,0

 

1,5

 

1,0

 
 


0,5 у = 1/х

 
 

 


0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 х

 

Рис. 4.

Следовательно,

 

= , и тогда

 

( кв.ед.).

 

Задача №10. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой

 

и прямой y = x + 2.

 

Решение. 1. Изобразим данные линии на чертеже и заштрихуем фигуру, площадь которой нужно найти. Графиком функции является парабола. Найдем производную данной функции и, приравняв ее к нулю, определим критическую точку.

 

.

 

Пусть y′ = 2 – х = 0. Отсюда х = 2. Это – абсцисса вершины параболы. Ордината вершины . Ветви параболы направлены вниз. Найдем точки пересечения параболы с осью Ох, положив у = 0. Тогда или . Решив данное квадратное уравнение, получим х1 = -2 и х2 = 6. Строим параболу (рис. 5).

 
 


У

 

8

 
 


у = х + 2

6

 
 

 

 


4

 
 

 


2

           
   
 
   
 
 

 

 


–2 0 2 4 6 х

 

 

Рис. 5.

 

2. Графиком функции у = х + 2 является прямая, для ее построения достаточно двух точек. При х = 0, у = 2, при х = 2, у = 4. Строим прямую.

 

3. Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой , снизу – непрерывной кривой находится по формуле:

 

,

 

где a и b – абсциссы точек пересечения кривых.

 

Для нахождения точек пересечения данных линий, решим систему уравнений:

 

, или .

 

Решая полученное квадратное уравнение, получим х1 = –2 и х2 = 4, следовательно, а = –2; b = 4. Применяя формулу площади, составим интеграл



 

 

.

 

Итак, искомая площадь S = 18 (кв. ед.).

 

Вопросы для самопроверки.

 

1. Дайте определение определенного интеграла от данной функции на заданном отрезке?

2. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

3. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

4. Сформулируйте свойства определенного интеграла.

5. Как используется способ подстановки для вычисления определенного интеграла?

6. Напишите формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла.

7. Как вычисляется площадь плоской фигуры в прямоугольной системе координат с помощью определенного интеграла?

 

 

Тема 6. Повторные независимые испытания.

 

Литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. «Высшая школа». М. 2003.Глава 5.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. «Высшая школа». М. 2004.Гл. 3.

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...