Главная Обратная связь

Дисциплины:






Методические указания



 

Методы теории вероятностей широко применяются в различных областях естествознания, техники, экономики.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Будем понимать под событием результат испытания. Все события можно разделить на три вида: достоверные, невозможные, случайные. Случайное – событие, которое при определенных условиях может либо произойти, либо нет. На практике случайное событие есть следствие многих случайных причин и учесть их влияние невозможно. Если рассматривать многократно повторяющиеся при одних и тех же условиях события, то имеют место определенные закономерности, которые называются вероятностными.

Основным понятием теории вероятностей является вероятность события.

Вероятностью Р события А называется отношение числа исходов m , благоприятствующих появлению события А, к числу n всех несовместны и равновозможных исходов испытания.

Вероятность события принимает значения от 0 до 1.

Если производится несколько независимых испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются повторными независимыми относительно события А. Если при этом вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же, то они называются повторными независимыми испытаниями. Для того, чтобы определить вероятность того, что в n независимых повторных испытаниях событие А наступит ровно m раз используются формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона. Для нахождения вероятности того, что событие А наступит от m1 до m2 раза используется интегральная теорема Лапласа.

 

Примеры решения задач.

 

Задача №11. Вероятность прорастания семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных семян прорастут: а) три; б) не менее четырех.

 

Решение. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность что событие А появится в этих n испытаниях т раз, выражается формулой Бернулли

, где , .

 

а) В нашем случае, p = 0,8, n = 5, m = 3, q=1 – p. Следовательно,

 

.

 

б) Прорастание не менее 4 семян означает, что должно взойти либо четыре, либо пять растений. Пусть событие А означает, что из 5 семян взойдут не менее 4 семян; событие В – из 5 взойдут 4; D– из 5 взойдут 5. Поскольку события В и D несовместны, вероятность наступления события А равна сумме вероятностей этих событий

Р(А) = Р(В) +Р(D)

 

Вероятность события В

.

 

Для события D, m = n, значит , и вероятность наступления события D



.

Таким образом, вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех

 

.

 

Вопросы для самопроверки.

 

1. Что составляет предмет теории вероятностей?

2. Какое событие называется случайным, невозможным, достоверным?

3. Сформулируйте определение вероятности события.

4. Какие действия над событиями Вы знаете?

5. Какие события называются повторными, независимыми?

6. В каких случаях применяются формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона?

 

Тема 7. Случайные величины.

 

Литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. «Высшая школа». М. 2003.Главы 6 -8.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. «Высшая школа». М. 2004.Гл. 5.

 

Примеры решения задач.

 

Задача 12. Задан закон распределения случайной дискретной величины X. Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

 

X -3 -1
р 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15

 

Решение. Математическое ожидание случайной дискретной величины

 

.

В нашем случае

.

 

Дисперсия случайной дискретной величины

 

.

 

Для нахождения математического ожидания квадрата случайной величины составим закон ее распределения

Х2
р 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15

Тогда

.

 

.

 

Среднее квадратичное отклонение случайной величины X

 

.

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Что такое дискретная случайная величина и ее ряд распределения?

2. Дайте определение числовых характеристик случайной величины и объясните их смысл.

 

Тема 8. Элементы математической статистики.

 

Литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. «Высшая школа». М. 2003.Главы 15 - 19.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. «Высшая школа». М. 2004.Гл. 9-13.

 

Методические указания.

 

Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой - либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

Различные значения признака, наблюдающиеся у членов совокупности, называются вариантами. Число mi , показывающее, сколько раз встречается вариант в совокупности, называется его частотой, а отношение частоты варианта к числу n членов совокупности – его относительной частотой , где i принимает значения от 1 до k - числа различных вариант.

, i = 1,2,3,…, k.

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариант с соответствующими им относительными частотами.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью.

Экономически невыгодно производить обследование всей совокупности, если по результатам изучения сравнительно небольшой ее части можно получить с достаточной для практики достоверностью необходимую информацию о всей совокупности. Такой метод исследования носит название выборочного.

Пусть имеется ряд распределения значений признака. Для того, чтобы подвергнуть его анализу рассматриваются постоянные величины, которые характеризуют ряд в целом и отражают присущие изучаемой совокупности закономерности. К таким постоянным относятся средние арифметические, дисперсии, средние квадратические отклонения.

 

 

Примеры решения задач.

 

Задача № 13. Известны урожайности в центнерах на один гектар яровой пшеницы в 20 хозяйствах: 13,9; 12,4; 13,1; 6,3; 11,8; 11,6; 10,5; 10,4; 10,6; 11,3; 15,1; 11,7; 11,3; 10,2; 11,0; 10,7; 8,2; 9,6; 10,2; 15,1. Получить интервальный ряд распределения и начертить гистограмму.

 

Решение. Записываем исходные данные в виде ранжированного ряда: 6,3; 8,2; 9,6; 10,2; 10,2; 10,4; 10,5; 10,6; 10,7; 11,0; 11,3; 11,3; 11,6; 11,7; 11,8; 12,4; 13,1; 13,9; 15,1; 15,1.

Рассматривая этот ряд, видим, что диапазон изменения вариант в выборке составляет 6 – 16.

Весь диапазон изменения вариант в выборке разбиваем на несколько интервалов. Размер интервала выбирается произвольно, но следует иметь в виду, что чем меньше интервал, тем точнее результаты. В данном случае принимаем размер интервала равным 2 единицам ( ∆xi = 2 ). Получаем пять интервалов: первый 6 – 8, второй 8 – 10, третий 10 – 12, четвертый 12- 14, пятый 14 – 16.

Определяем частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадает одно значение (6,3) из ряда, поэтому m1 = 1. Во второй интервал попадает два значения (8,2 и 9,6), поэтому m2 = 2. Аналогично получаем m3 = 12, m4 = 3, m5 = 2.

Определяем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

в первый интервал - .

во второй интервал - ,

в третий интервал - ,

в четвертый интервал - ,

в пятый интервал - .

Проверяем правильность расчетов. Для этого суммируем относительные частоты:

= 0,05 + 0,10 + 0,60 + 0,15 + 0,10 = 1,00.

Сумма всех относительных частот равна единице, следовательно, вычисления произведены правильно.

Определяем плотность относительных частот вариант как отношение относительной частоты ωi к размеру интервала ∆xi:

для первого интервала - ;

для второго интервала - ;

для третьего интервала - ;

для четвертого интервала - ;

для пятого интервала - .

Результаты вычислений сводим в таблицу 2.

Таблица 2.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...