Главная Обратная связь

Дисциплины:






Краткие теоретические сведения. Решение систем нелинейных уравнений состоит из 2-х этапов:



Решение систем нелинейных уравнений состоит из 2-х этапов:

- отделение корней;

- уточнение корней в отдельных интервалах.

Задача отделения корней даже для нелинейных уравнений может вызвать значительные трудности. А в случае систем нелинейных уравнений эта задача еще более усложняется.

.

Отделение корней будет заключаться в приближенном определении точек пересечения 2-х кривых f(х,у), j(х,у). Для этого уравнения f(x,y)=0 и f(x,y)=0 представить в виде y=f*(x) и y=f*(x) и построить графики. Точка пересечения определит корни уравнения.

Например, имеется система нелинейных уравнений:

.

Преобразуем её в

и построим графики (рис. 1).

Из рис. 1 видно, что корень уравнения единственный и находится в области 6 £ x £ 10, –6 £ y £ –2.

Рассмотрим два метода уточнения корней, которые используются для решения систем нелинейных уравнений.

Рассмотрим систему нелинейных уравнений 2-го порядка в общем виде:

. (1)

Однако необходимо учитывать, что метод Ньютона может использоваться и для систем уравнений более высокого порядка.

Рис. 1. Отделение корней

Метод Ньютона

Выберем х0 и у0 в качестве грубого приближения к решению, х0 и у0 могут выбираться либо на этапе отделения корней, либо из физических соображений или при постановке задачи.

Для реализации последовательного приближения грубого приближения к решению (точному) х и у необходимо записать в алгоритм поиска наиболее точного решения в следующем виде:

.

Т.е. для решения системы уравнений необходимо указать правила нахождения добавок hi, ki.

Для этого введем следующее обозначение

. (2)

Подставим (2) в систему (1):

. (3)

Разложим уравнения системы (3) в ряд Тейлора в окрестностях точки (х0, у0), при этом ограничимся линейными членами разложения

, (4)

Если пренебречь q1 и q2, то получим систему линейных уравнений относительно h и k, т.к.

k = - y0 + y; h = x0 - x

. (5)

Решение системы (5) даст неизвестные h и k, которые приближают х0, y0 точному решению, но точного значения корня не обеспечивают (вследствие пренебрежения остаточными членами разложения q1 и q2).

Т.к. f(x0, y0), j( x0, y0), f’x( x0, y0), f’y( x0, y0), jx( x0, y0), jy( x0, y0) – const, систему уравнений (5) можно представить в привычном (нормальном виде):

.

Решение системы может быть получено с использованием методов решения систем линейных уравнений, например, правилом Крамера:

; , где

Определитель матрицы, составленный из первых производных системы уравнений, называется Якобианом. После того как h и k найдено, необходимо повторить процесс поиска новых значений h и k и т.д., до тех пор пока решение не достигнет заданной степени точности e. При этом в качестве начального приближения выбирается всякий раз очередное приближение к решению, т.е. итерационный процесс поиска можно представить в следующем виде:



. (6)

Условием прекращения поиска решения является выполнение, следующего условия:

. (7)

Причем эти условия должны выполняться одновременно.

Таким образом, поиск решения выполняется при реализации следующей последовательности действий:

1) выбираются начальные значения х0 и у0;

2) для этих значений рассчитываются значения функций f, j, f'x, f'y, j’x, j’y;

3)решается система линейных уравнений (5), т.е. находятся значения h и k;

4)по формулам уравнений (6) находятся значения х, у. Процесс поиска, т.е. действия (2)-(4) выполняются до тех пор, пока не выполнится условие достижения заданной степени точности (7).


 
 

Метод итераций

Запишем систему нелинейных уравнений

. (8)

Приведем ее к нормальному виду

. (9)

Выберем грубые начальные приближения к решению х0, у0 подставляя их в правую часть системы можно подучить некоторые новые приближения x11. Повторяя вновь процесс подстановки найденных значений в первую часть системы (9) получим последовательность приближений.

Последовательность хi, уi будет сходиться к решению системы (8) при выполнении следующий условий сходимости.

Условия сходимости последовательности хi уi.

1. Если в замкнутой окрестности R имеется только один корень (действительный)

Для двумерного случая замкнутая окрестность R определяется следующим соотношением:

y

a2

 

 

b2

 

 

а1 b1 x

 

Под корнем будем понимать вектор решений, который в двумерном случае имеет 2 компонента х и у.

2. Функции f1 и j1 в области R должна быть непрерывна и дифференцируема.

3. Выполняются следующие условия в R.

или

 

При выполнении всех трех условий последовательность хi yi имеет предел, т.е. сходится и этот предел является решением системы уравнений.

Начальные приближения должны выбираться в области R. Условием достижения заданной степени точности является выполнение следующих условий:

.


 

Контрольные вопросы

1. Составить схему алгоритма решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона.

2. Составить схему алгоритма решения системы нелинейных уравнений методом итераций.

3. Привести систему нелинейных уравнений к каноническому виду, так, чтобы выполнялось условие сходимости при решении методом итераций.

4. Написать условие сходимости при решении методом итераций.

5. Рассказать, каким образом определяется величина шага приближения при решении системы нелинейных уравнений методом Ньютона.

6. Дать сравнительную характеристику методов.

 

 

5. Требования к отчету.

Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку, схему алгоритма, листинг программы, распечатку результатов, графики, анализ полученных результатов.

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

№ варианта Функция

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...